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1、1,2,本章目标,理解符号运算的有关概念掌握使用符号运算解决符号推导、微积分、方程等问题的方法,3,主要内容,2.8 数值运算与符号运算2.9 符号变量和符号表达式2.10 符号表示式的运算2.11 微积分2.12 方程求解,4,在前面的章节中，我们已介绍了MATLAB在数值运算的能力，接著我们再说明另一种不同的运算法符号数学(symbolic mathematic)。在示范如何定义一个符号表示式后，将讨论用以简化数学式的符号函数。除此之外，我 们还要说明如何利用符号运算解微分方程式、积分和微分。,2.8数值运算与符号运算,5,什么是符号数学？顾名思义，符号数学是以符号(如a，b，c，x，y，
2、z)为对象的数学，区别于以数字为对象的MATLAB基本部分。一般我们做运算时多半是以数值做运算，例如一算式1+0.5=1.5就是以数值运算；如果是a除b这个算式，我门知道改以分数做运算就可得到正确解，而无因舍未造 成的误差。符号运算即是能以分数做运算，而无须转换成数值再运算。再举一例，我们皆知cos(x)微分得到 sin(x)，这样的数学式你是无法用数值做运算。当然符号数学能运算复杂的数学式，这也是我们使用它的目的。,2.8数值运算与符号运算,6,2.8数值运算与符号运算,数值运算在运算前必须先对变量赋值，再参加运算。符号运算不需要对变量赋值就可运算，运算结果以标准的符号形式表达。,7,在MA
3、TLAB中是将一符号表示式储存唯一字串(character string)，即是以二个单引号之内的表示式来定义其为 一符号式，例如：tan(y/x),x3-2*x2+3,1/(cos(angle)+2)的三个式子。,2.8数值运算与符号运算,8,2.9 符号变量和符号表达式,2.9.1建立符号对象1建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。(1)sym 函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：符号量名=sym(符号字符串)该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。应用sym函数还可以定义符号常量
4、，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。,9,2.9 符号变量和符号表达式,(2)syms 函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,10,2.9 符号变量和符号表达式,2建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：(1)利用单引号来生成符号表达式。(2)用sym函数建立符号表达式。(3)使用已经定
5、义的符号变量组成符号表达式。,11,2.9 符号变量和符号表达式,符号变量和符号表达式在使用前必须说明sym函数f=sym(a*x2+b*x+c)%创建符号变量 f和一个符号表达式首先要对符号变量作出定义，此语句就定义了f是一个字符串变量，此后键入的算式y=3*f2+5*f+2，或 z=sin(f)就具有了符号函数的意义，y和z也自然成为字符串变量。,12,2.9 符号变量和符号表达式,符号变量和符号表达式在使用前必须说明syms函数 如果一个数学符号表示式中有多个符号，如 z=a*t2+b*t+c 可以用多个符号变量定义语句放在此式前面。clear syms a b c t whos Nam
6、e Size Bytes Class a 1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object t 1x1 126 sym object,13,2.10 符号表示式的运算,2.10.1 算术运算或四则运算 1 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。clear f1=sym(1/(a-b);f2=sym(2*a/(a+b);f3=sym(a+1)*(b-1)*(a-b);f1+f2%符号和ans=1/(a-b)+2*a/(a+b)f
7、1*f3%符号积ans=(a+1)*(b-1)f1/f3%符号商ans=1/(a-b)2/(a+1)/(b-1),14,2.10 符号表示式的运算,2.10.1算术运算2符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：n,d=numden(s)该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。,15,2.10 符号表示式的运算,2.10.1算术运算3符号表达式的因式分解与展开MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：factor(s)：对符号表达式
8、s 分解因式。expand(s)：对符号表达式 s 进行展开。collect(s)：对符号表达式 s 合并同类项。collect(s,v)：对符号表达式 s 按变量v合并同类项。,16,2.10.2 函数运算,1化简函数simplify函数：利用代数中的函数规则对表达式进行化简；2反函数finverse（f,v）对指定自变量为v的函数f(v)求反函数3复合函数compose(f,g)求f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(y)compose(f,g,z)求 f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(z)4表达式替换函数subs(s)用赋值语句中给定值替换表达式中所有同名变量 subs(
9、s,old,new)用符号或数值变量new替换s中的符号变量old,17,例1,factor(f2)%分解因式ans=(a-1)*(a2+a+1)m,n=numden(f3)%m为分子，n为分母m=1+2*a+3*a2+4*a3+5*a4n=a4 simplify(f4)ans=1,clear f1=sym(exp(x)+x)*(x+2);f2=sym(a3-1);f3=sym(1/a4+2/a3+3/a2+4/a+5);f4=sym(sin(x)2+cos(x)2);collect(f1)%合并同类项ans=x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)expand(f1)%展开ans=e
10、xp(x)*x+2*exp(x)+x2+2*x,18,clearsyms x yfinverse(1/tan(x)%求反函数，自变量为x ans=atan(1/x)f=x2+y;finverse(f,y)%求反函数，自变量为yans=-x2+y clearsyms x y z t u;f=1/(1+x2);g=sin(y);h=xt;p=exp(-y/u);compose(f,g)%求f=f(x)和 g=g(y)的复合函数f(g(y)ans=1/(1+sin(y)2),例2,19,clearsyms a bsubs(a+b,a,4)%用4替代a+b中的aans=4+bsubs(cos(a)+s
11、in(b),a,b,sym(alpha),2)%多重替换ans=cos(alpha)+sin(2)f=sym(x2+3*x+2)f=x2+3*x+2 subs(f,x,2)%求解f当x=2时的值ans=12,例3,20,2.10.2 函数运算,5符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(s,n)函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。,21,2.10.2 函数运算,6.符号矩阵符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都
12、可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。determ(s)：返回s矩阵的行列式值。其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。,22,2.11 微积分,2.11.1极限1.符号极限limit函数的调用格式为：(1)limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变
13、量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。(2)limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。,23,2.11 微积分,2.11.1极限(3)limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。(4)limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。(5)limit(f,x,a,left)：
14、求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,24,2.11 微积分,2.11.1极限,25,2.11 微积分,2.11.1极限例4 求下列极限。极限1：syms a m x;f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a);limit(f,x,a)ans=(1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a,26,2.11 微积分,2.11.1极限例4 求下列极限。极限2：syms x t;limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans=exp(6*t),27,2.11 微积分,2.11.1极限极限3：sy
15、ms x;f=x*(sqrt(x2+1)-x);limit(f,x,inf,left)ans=1/2,28,2.11 微积分,2.11.1极限极限4：syms x;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,right)ans=-1/2,29,例5,clear syms a x limit(1/x,x,0)ans=NaN limit(1/x,x,0,left)ans=-Inf limit(1/x,x,0,right)ans=Inf limit(x+a)/(x-a)x,Inf),30,2.11.2 微分,符号导数diff函数用于对符号
16、表达式求微分。该函数的一般调用格式为：(1)diff(t)：没有指定变量和导数微分，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式f求一阶微分。(2)diff(f,t)：以t为自变量，对符号表达式f求一阶微分。(3)diff(f,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式f求n阶微分，n为正整数。(4)diff(f,t,n)：以t为自变量，对符号表达式f求n阶微分。,31,例6,32,例6,33,2.11.3 积分,符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：(1)int(f)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号
17、表达式f求不定积分。(2)int(f,t)：以t为自变量，对被积函数或符号表达式f求不定积分。(3)int(f,t,a,b)：int(f,a,b)求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量t在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,34,2.11.3 积分,35,2.11.3 积分,36,2.11.3 积分,积分变换 常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉
18、斯变换和Z变换。1傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(f,x,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。,37,2拉普拉斯(Laplace)变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。例 计算y=x3的拉普拉斯变换及其逆变换。,2.11.3 积分,38,3Z变换当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时，对数列f(n
19、)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z)：求fn的Z变换像函数F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z变换原函数f(n)。例 求数列 fn=e-2n的Z变换及其逆变换。,2.11.3 积分,39,2.11.3 积分,级 数1 级数符号求和求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：symsum(s,v,n,m)其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。,40,2 函数的泰勒级数MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：taylor(f,v,n,
20、a)该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,2.11.3 积分,41,2.12 方程求解,2.12.1 符号方程求解 符号代数方程求解在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：(1)solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。(2)solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。,42,2.12 方程求解,2.12.2 代数方程组代数方程的求解由函数solve实现：(1)
21、solve(f1,fn)求解由f1,fn组成的代数方程组(2)solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。2.12.3 常微分方程使用函数dsolve来求解常微分方程：dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v),43,例8,syms a b c x f=sym(a*x*x+b*x+c=0)solve(f)ans=1/2/a*(-b+(b2-4*c*a)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*c*a)(1/2)solve(1+x=sin(x)ans=-1.9345632107520242
22、675632614537689,44,例8,dsolve(Dy=x,x)%求微分方程y=x的通解，指定x为自变量。ans=1/2*x2+C1dsolve(D2y=1+Dy,y(0)=1,Dy(0)=0)%求微分方程y=1+y 的解，加初始条件ans=-t+exp(t)x,y=dsolve(Dx=y+x,Dy=2*x)%微分方程组的通解x=-1/2*C1*exp(-t)+C2*exp(2*t)y=C1*exp(-t)+C2*exp(2*t),45,扩展阅读,2.13 任意精度计算2.14 符号表达式绘图2.15 Maple接口,46,应用举例,47,应用举例,48,应用举例,49,应用举例,50,应用举例,51,应用举例,52,应用举例,53,应用举例,54,应用举例,55,应用举例,56,应用举例,57,应用举例,58,作业:2-2 求解线形方程组,求下列线性方程式的根,2X1+X2-X3=53X1-2X2+2X3=55X1-3X2-X3=16,59,学好Matlab的唯一途径是 你的Matlab编程能力与你在计算机上投入的时间成,结束语,上机练习,正比,
