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1、1.2 曲线的弧长,一E3 中正则曲线段的长度二弧长和弧长参数,粗略地说，在微积分学之中，当曲线“可求长”时，“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值，而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的；勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则换个角度去看，基本的度量规则确定了所谓的“长度”，同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式；而基本度量规则的改变，将导致不同的关于距离的几何学下面从几何学的角度给出长度概念及其解释,一E3 中正则曲线段的长度,给定 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 设 C:r(t)=(x(t),y(t),z(
2、t),ta,b 是正则曲线上的一个弧段任取参数区间的一个划分Dn:t0 a t1 tn=b，对应有曲线上的分点 Pj:r(tj),j=0,1,n 相应折线的长度确定为,一E3 中正则曲线段的长度,由 Taylor 展开式，可写r(tj)r(tj1)(Dtj)r(tj1)+(Dtj)2/2R2j,其中余项 R2j=(x(x1j),y(x2j),z(x3j)r(tj1),当 Dtj tj tj10.此时,一E3 中正则曲线段的长度,R2j=(x(x1j),y(x2j),z(x3j)r(tj1),当 Dtj tj tj10.,记 Dn maxDtj j=0,1,n，xM maxx(t)ta,b，yM
3、 maxy(t)ta,b，zM maxz(t)ta,b，则,一E3 中正则曲线段的长度,R2j=(x(x1j),y(x2j),z(x3j)r(tj1),当 Dtj tj tj10.,按照 Riemann 积分意义，此即证得下述结论,一E3 中正则曲线段的长度,定理1正则曲线上的弧段 C:r(t)=(x(t),y(t),z(t),ta,b 是可求长的，且长度取值为 L(C)ab r(t)dt“长度”为几何不变量它不依赖于正则参数的选取；它不依赖于 E3 中Descartes直角坐标系的选取分析意义下的可求长曲线对连续可微性的要求是可以降低的关于降低可微阶数的讨论，在一般的场合，并不是本课程中所关
4、心的内容,二弧长和弧长参数,定义对正则曲线 C:r(t)=(x(t),y(t),z(t),t(a,b)，任取 t0(a,b)，称,为曲线 C 上的从参数 t0 到 t 的有向弧长，简称弧长；称 ds r(t)dt 为曲线 C 上的有向弧长元素，简称弧长元素；称函数s(t)s(t0)为曲线 C 上以 r(t0)为起点的有向弧长参数函数，简称弧长参数同讨论长度一样，易证（习题）弧长元素在保向正则参数变换下不变，且在刚体运动下不变；弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数，该常数等于不同起点之间的有向弧长,二弧长和弧长参数,当一般正则参数转换为相应的弧长参数时，有,单位切向作为保向正则参数变换
5、下的不变量，用弧长参数表示以及计算，一定有其意义一般地，由于弧长参数具有明确的几何属性，因而在几何理论研究中被广泛地使用；其重要性表现在简化计算的同时，能突出所讨论对象的几何意义,二弧长和弧长参数,弧长参数的存在性和特征可以总结成下列结果定理2对正则曲线 C:r(t)=(x(t),y(t),z(t),t(a,b)，总可以弧长参数化；参数 t 成为弧长参数的充要条件为 r(t)1,t(a,b)约定：以后在不容易混淆时，通常以 s 表示曲线的弧长参数，通常以 ds 表示曲线的弧长元素例圆柱螺线参数化为 r(t)(a cos(wt),a sin(wt),vt),tR，其中三个常数 a 0,w 0 和 v 0 试求其从点(a,0,0)计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度解：r(t)=(aw sin(wt),aw cos(wt),v)，,二弧长和弧长参数,例圆柱螺线参数化为 r(t)(a cos(wt),a sin(wt),vt),tR，其中三个常数 a 0,w 0 和 v 0 试求其从点(a,0,0)计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度,解：r(t)=(aw sin(wt),aw cos(wt),v)，,
