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1、Bellman-Ford算法：为了能够求解边上带有负值的单源最短路径问题，Bellman(贝尔曼)和Ford(福特)提出了从源点逐次绕过其他顶点，以缩短到达终点的最短路径长度的方法。,Bellman-Ford算法的限制条件：要求图中不能包含权值总和为负值回路(负权值回路)，如下图所示。Why?,Bellman-Ford算法,Bellman-Ford算法思想,Bellman-Ford算法构造一个最短路径长度数组序列dist 1 u,dist 2 u,dist n-1 u。其中：dist 1 u为从源点v到终点u的只经过一条边的最短路径长度，并有dist 1 u=Edgevu；dist 2 u为从
2、源点v最多经过两条边到达终点u的最短路径长度；dist 3 u为从源点v出发最多经过不构成负权值回路的三条边到达终点u的最短路径长度；dist n-1 u为从源点v出发最多经过不构成负权值回路的n-1条边到达终点u的最短路径长度；算法的最终目的是计算出dist n-1 u，为源点v到顶点u的最短路径长度。,dist k u的计算,采用递推方式计算 dist k u。设已经求出 dist k-1 u,u=0,1,n-1，此即从源点v最多经过不构成负权值回路的k-1条边到达终点u的最短路径的长度。从图的邻接矩阵可以找到各个顶点j到达顶点u的距离Edgeju，计算min dist k-1 j+Edg
3、eju，可得从源点v绕过各个顶点，最多经过不构成负权值回路的k条边到达终点u的最短路径的长度。比较dist k-1 u和min dist k-1 j+Edgeju，取较小者作为dist k u的值。,递推公式(求顶点u到源点v的最短路径)：dist 1 u=Edgevudist k u=min dist k-1 u,min dist k-1 j+Edgeju,j=0,1,n-1,ju,例子,dist 2 1=min dist 1 1,min dist 1 j+Edgej1=min6,mindist10+Edge01,dist12+Edge21,算法实现,#define MAX_VER_NUM
4、10/顶点个数最大值#define MAX 1000000int EdgeMAX_VER_NUMMAX_VER_NUM;/图的邻接矩阵int vexnum;/顶点个数void BellmanFord(int v)/假定图的邻接矩阵和顶点个数已经读进来了int i,k,u;for(i=0;ivexnum;i+)disti=Edgevi;/对dist 初始化if(i!=v,注意：本算法使用同一个数组dist u来存放一系列的dist k u。其中k=0,1,n-1。算法结束时中存放的是dist n-1 u。path数组含义同Dijkstra算法中的path数组。,for(k=2;kdisti+Ed
5、geiu)distu=disti+Edgeiu;pathu=i;,如果dist 各元素的初值为MAX，则循环应该n-1次，即k的初值应该改成1。,Dijkstra算法与Bellman算法的区别,Dijkstra算法和Bellman算法思想有很大的区别：Dijkstra算法在求解过程中，源点到集合S内各顶点的最短路径一旦求出，则之后不变了，修改的仅仅是源点到T集合中各顶点的最短路径长度。Bellman算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的dist，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman算法结束才确定下来。,如果存在从源点可达的负权值回路，则最短路径不存在，因为可以重复走这个
6、回路，使得路径无穷小。在Bellman算法中判断是否存在从源点可达的负权值回路的方法：,思路：在求出distn-1 之后，再对每条边判断一下：加入这条边是否会使得顶点v的最短路径值再缩短，即判断：distu+w(u,v)distv是否成立，如果成立，则说明存在从源点可达的负权值回路。代码如下：,for(i=0;idisti+Edgeij)return 0;/存在从源点可达的负权值回路return 1;,算法复杂度分析,假设图的顶点个数为n，边的个数为e。算法中有一个三重嵌套的for循环，如果：使用邻接矩阵存储图，最内层if语句的总执行次数为O(n3)，因此算法的复杂度为O(n3)；使用邻接表存
7、储图，内层的两个for循环改成while循环，可以使算法的复杂度降为O(n*e)。,Bellman-Ford算法思想的另一种理解,前面已经提到：如果使用邻接表存储图，内层的两个for循环改成while循环，可以使算法的复杂度降为O(n*e)。邻接表里直接存储了边的信息，浏览完所有的边，复杂度是O(e)。而邻接矩阵是间接存储边，浏览完所有的边，复杂度是O(n2)。,具体描述：对图中的每条有向边，权值为w，如果distu+w的引入，会缩短源点v0到顶点v的最短路径长度，那么应该修改distv，修改成distu+w。,#define MAX 999999#define EDGE_MAX 100/边数
8、最大值#define VER_MAX 50/顶点个数最大值struct Edgeint u,v,w;/边：起点、终点、权值;Edge edgesEDGE_MAX;/存储所有的边int m;/实际边的个数int n;/顶点个数/*dist为源点v0到各顶点的最短距离,如果初始为v0到各顶点直接边的长度,则算法中的循环要执行n-2次，如果初始为MAX，则循环要执行n-1次，第一次求得的dist就是v0到各顶点直接边的长度*/int distVER_MAX=MAX;/假定边的数组、边的个数这些信息已经读进来了,假设图中有关边的数据结构如下：,实现(具体应用见ZOJ2770的代码),bool bell
9、man_ford()/bellman-ford算法int i,k,t;for(i=1;i n;i+)/*假设第k条边的起点是u,终点是v,以下循环考虑第k条边是否会使得源点v0到v的最短距离缩短,即判断distedgesk.u+edgesk.w distedgesk.v 是否成立*/for(k=0;k m;k+)t=distedgesk.u+edgesk.w;if(distedgesk.u!=mx,Bellman-Ford算法改进,Bellman-Ford算法是否一定要循环n-2次，n为顶点个数。未必！其实只要在某次循环过程中，考虑每条边后，都没能改变当前源点到所有顶点的最短路径长度，那么Bellman-Ford算法就可以提前结束了。详见ZOJ 1508的代码。,
