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1、第1次作业解答,习题 1-2(p24)2.,6.,习题 1-3(p32)7.,第一章,第五节,函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向有限值时函数的极限,三、函数极限的性质,四、小结,前面讨论了数列xn=f(n)的极限,它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于:n只取正整数,且n趋于无穷大.,现在讨论y=f(x)的极限,自变量x大致有两种变化形式.(1)x,(2)xx0(有限数).并且,x不是离散变化的,而是连续变化的.,考虑种自变量的连续变化过程：,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义：,注1
2、.,将这个定义和数列极限定义相比较,就是将xn=f(n)换成了f(x).将“正整数N”换成“实数X 0”.但是,数列极限中n是离散变化的,而这里x是连续变化的.,直观地,表示当自变量 x 无限增大时,曲线 y=f(x)上的对应点的纵坐标f(x)会无限接近于数a.,从而曲线 y=f(x)会无限接近于直线 y=a.,如图,任意作直线 y=a.(0),存在X 0.当|x|X 时,如图,2、另两种情形:,直观地,这个式子表示当 x 0 且|x|无限增大时,函数 y=f(x)图象以y=a为渐近线.,按定义,作直线 y=a.(0),存在X 0.当 x X 时,y=f(x)的图形夹在两直线y=a 之间.,如
3、图,直观地,这个式子表示当 x 0 且|x|无限增大时,函数 y=f(x)图象以y=a为渐近线.,按定义,作直线 y=a.(0),存在X 0.当 x X 时,y=f(x)的图形夹在两直线y=a 之间.,如图,例1,证,二、自变量趋向有限值时函数的极限,先看一个例子,这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时f(x)的极限。,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义：,注1.与数列极限定义比较:,将“xn=f(n)”换成f(x),将“N”换成“0”,将“nN”换成“0|xx0|”.,若
4、0,正数数N,使得当nN 时,都有|xna|,0,0,当0|xx0|时,|f(x)a|,则记,而现在 x x0,“0|xx0|”表示 了这一意思.,这是因为在数列极限中.n.而“nN”表示了n充分大这一意思.,注,定义习惯上称为极限的定义其三个要素：10正数，20正数，30不等式,定义中,所以x x0时，f(x)有无极限与 f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在x0附近的变化趋势。,因此,f(x)在x0是否有定义与f(x)在x0是否有极限无关.x x0总表示x无限接近x0,但x x0这一意思.,0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于，对一固定的而言，合乎定义要求的并不
5、是唯一的。由不等式|f(x)A|来选定，一般地，越小，越小,曲线 y=f(x)上对应点的纵坐标会无限接近于 a.,即,如图,例2,证,例3,证,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,(本例说明f(x)在x0无定义,但其极限可能存在),例 5,用极限定义证明,证,对于任意给定的,要使,只要,即,就可以了.,因此，,对于任意给定的,取,恒成立.,所以,注：,同理可证：,例6 证明,证,不妨设,注,在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x)A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。,3.单侧极限:,例如,左
6、极限,右极限,左右极限存在但不相等,例7,证,例8.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:,因为,显然,所以,不存在.,三、函数极限的性质,1.局部有界性,2.唯一性,推论,3.不等式性质,定理(保序性),定理(保号性),推论,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,证,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,即,证明,设,即,恒有,再由,则对上述,有,又,故,设对,都有,要证,用反证法,若,即,但,现取,有,满足,即,但,例9,证,二者不相等,四、小结,函数极限的统一定义,(见下表),第3次作业,习题 1-5(p42)1.(2)2.,思考题1,思考题1解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,2.,若,且,问：能否保证有,的结论？,试举例说明.,解,不能保证.,例如，,设,有,但,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,
