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1、1,第17章,第3节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,2,引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热到冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、方向导数,在一些实际问题中，需要研究函数,在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。,3,若函数,则称此极限,为函数在点 P0 处沿方向 l 的方向导数.记作,在点,的某邻域,表示P与P0的距离,若存在下列极限
2、:,内有定义,l为从点,出发的射线,为l上且含于,内的任意一点.,定义:,4,注意,若l的方向角为,记,则,5,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点 P 可微,得,故,6,对于二元函数,向角为,)的方向导数为,特别:,当 l 与 x 轴同向,当 l 与 x 轴反向,7,方向导数存在,可微,反例见教材P126例2,8,例1.求函数,在点 P(1,1,1)沿向量,3)的方向导数.,9,指向 B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,例2.函数,提示:,则,10,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率(即方向导数)最大
3、的方向,模:f 变化率的最大值,方向导数取最大值：,设函数,在点,可微,其沿着不同方向,的方向导数是不同的，,11,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f(P)在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,注意:,函数沿某方向的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,12,2.梯度的基本运算公式,13,例1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x,y,z 具有轮换对称性,14,例2：求函数,在点M（1，0，1）,处的最大方向导数。,解：,在点M（1，0，1）,处的最大方向导数为：,同理,15,解,由梯度计算公式得,故,例3,16,例4.,证:,试证,17,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,18,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,19,P127 1,2，3，4.,作业,20,例3.求函数,在点P(2,3)沿曲线,切线朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,21,例4.设,是曲面,在点 P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,
