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1、1,第4节,一、高阶偏导数,二、中值定理与泰勒公式,泰勒公式与极值问题,第17章,三、极值问题,2,一、高阶偏导数,设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,3,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶,偏导数为,4,例1.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,5,例如,二者不等,6,例2.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,
2、7,则,定理.,例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,8,证:令,则,则,定理.,令,9,同样,在点,连续,得,10,为简便起见,引入记号,例3.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,11,例4:已知,解:,12,注意:,熟记常用导数符号.,称为混合偏导数,在计算时注意合并同类项!,设,13,二、中值定理与泰勒公式,一元函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,14,
3、记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,表示,表示,15,定理1.,的某一邻域内有直,到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式,称为其拉格,朗日型余项.,16,证:令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,17,一般地,由,的麦克劳林公式,得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,18,说明:,(1)余项估计式.,因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界 M,则有,19,(2),式中若只要求,的某一邻域内有,直到 n 阶连续偏导数,便有,20,(3)当 n=0 时,得二元函数在凸域上的拉格朗日中值公式:
4、,(4)若函数,在区域D 上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,见教材P133-TH17.8(中值定理),凸域概念介绍.,并注意与P112-TH17.3比较,21,例1.求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,22,其中,23,回顾一元函数极值概念及存在条件(必要,充分).,三、极值问题,24,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值
5、.,问题的提出,25,1、多元函数的极值概念 及必要条件,定义:若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.,例如,定理1(必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,故,37,2、
6、极值充分条件,定理2(充分条件),的某邻域内具有二阶连续偏导数,且,若函数,令,则(1)当,是正定矩阵时,f 在 P0具有极小值;,(2)当,是负定矩阵时,f 在 P0具有极大值;,(3)当,是不定矩阵时,f 在 P0不取极值.,38,证明:,的2 阶泰勒公式,令,(1),是正定矩阵时,恒有对,于是存在q0(P137注)使得,39,从而对充分小的,只要,就有,所以f 在 P0具有极小值;,(2),是负定矩阵时,同理可证.,(3)当,是不定矩阵时,f 在 P0不取极值.,(反证法)若f 在 P0取极值,不妨设取极大值,易知沿任意过P0,直线,40,在 t=0 亦取极大值,故,而,故,是负半定矩阵
7、.,这与,是不定矩阵矛盾!,f 在 P0不取极值.,41,时,具有极值,的某邻域内具有二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A 0 时取极大值;,A 0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,定理2(充分条件),42,证:由二元函数的泰勒公式,并注意,则有,所以,43,其中,是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是,(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,可见,从而z0,因此,44,从而 z0,(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则,时,有,异号;,同号.,可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,45,+,+,
8、若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时,可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB2 0 时,若 A0,则,若 A0,则 B0,为零或非零,46,此时,因此,不能断定(x0,y0)是否为极值点.,47,例1.,求函数,解:第一步 求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,48,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,49,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因
9、此 z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,50,3、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,51,解:,如图,52,53,54,解,由,55,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,56,例5.,解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,
10、问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,57,4.最小二乘法,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系 yf(x).,需要解决两个问题:,1.确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2.确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,58,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数 f(x).,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方,法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式
11、.,它们大体,59,特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a,b,令,满足:,使,得,解此线性方程组即得 a,b,称为法方程组,60,例1.,为了测定刀具的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀,具的厚度,得实验数据如下:,找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.,解:通过在坐标纸上描点可看出它们,大致在一条直线上,列表计算:,故可设经验公式为,61,得法方程组,解得,故所求经验公式为,为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:,62,称为均方误差,对本题均方误差,它在一定程度上反映了经验函数的好坏.,偏差平方和为,63,例2.在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据:,其中 表示从实验开始算起的时间,y 表示时刻 反应,物的量.,试根据上述数据定出经验公式,解:,由化学反应速度的理论知,经验公式应取,其中k,m 为待定常数.,对其取对数得,(线性函数),(书中取的是常用对数),64,因此 a,b 应满足法方程组:,经计算得,解得:,所求经验公式为,其均方误差为,65,观测数据:,用最小二乘法确定a,b,通过计算确定某些经验公式类型的方法:,66,作业,P140 1(1),(3),(5),(7);2;7(1);8(2);9(1);11;12;15.,
