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1、第四章 中值定理与导数的应用,4.1 中值定理,4.2 罗必塔法则,4.3 函数单调性判别法,4.4 函数的极值与最值,4.5 曲线的凸性,拐点与渐近线,4.6 函数作图,4.1 中值定理,一、罗尔定理,二、拉格朗日定理,三、柯西定理,一、罗尔(Rolle)定理,例如,定理 如果函数f(x)在闭区间 a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点,使得函数f(x)在该点的导数等于零，即,几何解释:,证,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,Rolle定理的条件是充分不必要的,即：若验证下
2、来Rolle定理的条件不成立，推不出不存在导数为零的点，如右图,满足Rolle定理条件，在-1处不存在右导数，在1处不存在左导数,是否存在在a,b上连续，在(a,b)内可导，但在区间端点不存在单侧导数的函数？,存在,导数为0有多种情况,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,Rolle(1652-1719)法国数学家Rolle年轻时因家境贫困，所以仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus分析理论。1682年，他解决了数学家Ozanam提出的一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机，得到了社会上层人士的经济援助。Rolle所处的时代正当微积分诞生不久，
3、因而微积分遭受到多方面的非议，Rolle就是反对派之一。他认为：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”从而Rolle和一些数学家之间展开了激烈的争论，直到1706年秋，他才放弃自己的观点，充分认识到无穷小分析新方法的价值。他在1691年的论著方程的解法中论证了：在多项式方程f(x)=0的两个相邻的实根之间，至少有一个实根（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。这个定理本来和微分学没有关系，但在一百多年后，即1846年Giusto Bellavitis将这一定理推广到可微函数，即函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存
4、在一点c，使导函数在该点值为0.并把此定理命名为Rolle定理，一直沿用至今.,罗尔（Rolle）,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,定理 如果函数f(x)在闭区间 a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点,使得,证,作辅助函数,曲线减去弦,),(,x,f,y,=,Rolle定理是Lagrange定理的特例,几何解释:,拉格朗日中值定理又称微分中值定理。,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,ab也成立,推论1,推论2,例2,证,例3,证,由上式得,Lagrange中值定理常常用来证明不等式,拉格朗日（Joseph-Louis Lagrang
5、e，公元1736公元1813）是意大利出生的法国数学家、力学家、天文学家。生於意大利都灵，卒於巴黎。少年时读到哈雷介绍牛顿（Newton）有关微积分的短文，对分析学产生兴趣。後上了都灵大学。18岁时研究等周问题（Isoperimetric Problems），用纯分析的方法发展了欧拉（Euler）开创的变分法（Variation of Calculus）。19岁（1755年）时当上都灵炮兵学校（Royal Artillery School in Turin）的几何学教授。不久成为柏林科学院通讯院士，并继欧拉後出任柏林科学院数学总监。1757年参与创建都灵科学协会，在协会出版的科技会刊上发表了大
6、量论文，内容涉及变分法、概率论、微分方程、弦振动、最小作用原理等。1764年用万有引力解释月球天平动问题获巴黎科学院奖金，1766年又用微分方程理论和近似解法研究六体问题再度获奖，成为欧洲极有声望的数学家。1766年接受普鲁士王腓特烈（Frederick the Great）邀请到柏林科学院工作。1787年定居巴黎，历任法国米制委员会主任、巴黎高等师范学校和巴黎综合工科学校数学教授。拉格朗日的主要贡献有：在关於代数方程解法的思考（1770）等论文中，发现置换对解的影响，指出五次方程不可能有根式解，蕴含群论思想的萌芽；在分析力学（1788）中用分析学理论建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化，是
7、自牛顿之後最重要的经典力学著作；在解析函数论（1797）和函数计算讲义（1801）两大分析巨著中尝试重建微积分的基础，采用新的微分符号，成为函数论的起点。他还在数论中得到一系列重要结果，在微分方程理论中提出奇异解（Singular Solution）是积分曲线族的包络的几何解释，提出线性代换的特徵值（Eigenvalue）概念等。,三、柯西(Cauchy)中值定理,注1：此定理不作考试要求，但是该结论会被用来证明后面的Lhospital法则,注2：Lagrange定理是该定理的特例,证,作辅助函数,例4,证,分析:,结论可变形为,柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-18
8、57)，法国数学家。他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。他信仰罗马天主教,追随保皇党,终生坚守气节。柯西在学术上成果颇丰，在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。他的全集26卷，仅次于欧拉，居第二位。,柯西是历史上有名的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的
9、父亲交往,曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大学，1816年成为那里的教授。1830年法王查理十世被逐，路易 菲利普称帝。柯西由于拒绝作效忠宣誓，被革去职位，出走国外。1838年柯西返回法国，法兰西学院给他提供了一个要职，但是宣誓的要求仍然成为接纳他的障碍。1848年路易 菲利普君主政体被推翻,成立了法兰西第二共和国,废除宣誓的规定,柯西终于成为理工科大学的教授。1852年发生政变,共和国又变成帝国,恢复了宣誓仪式,唯独柯西和阿拉果(Arago 1786-1853 法国物理学家)可以免除。,1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了分析教程、无穷小计算讲义、无穷小计算在几何中
10、的应用这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。现今所谓的柯西定义或方法就是柯西在1821年提出，后经过维尔斯特拉斯的加工完成的。,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,4.2 罗必塔(Lhospital)法则,定理,证,定义辅助函数,则有,注1 Lhospital法则可以连续使用,注 使用Lhospital法则注意验证条件！,注Lhospital法则的条件是充分不必要的,例1,解,例2,解,例3,
11、解,例4,解,0，等价量替换不能用于加减,例,=10=0,不满足Lhospital法则第3个条件,Lhospital法则失效，不能推出该极限不存在,原式,本例由于分子求导后,极限不存在,定理,例5,解,例6,解,例6,解,例7,解,步骤:,幂函数增长远慢于底数大于1的指数函数增长,例8,解,步骤:,步骤:,例9,解,例10,解,另解,例11,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注Lhospital法则的条件是充分不必要的,例,例,例,例,=0,例,另解,一花独放不是春,4.3 函数单调性的判别法,定理,证,应用拉氏定理,得,例1,解,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,证,注意:区
12、间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,4.4 函数的极值与最值,一、函数的极值极其求法,二、函数的最值及其求法,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,一、函数的极值极其求法,定理(必要条件),定理(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理(第二充分条件),证,同理可证(2).,例2,解,例3,解,二、函数的最值及其求法,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大就是最大值,哪个小那个就是最小值;,注意:f(x)在a,b上连续，且
13、在(a,b)内只有一个极值点x0，当x0是极大(小)值点时,f(x0)就是f在a,b上的最大(小)值，而f在a,b上的最小(大)值将在区间端点上取到。,例4,解,计算,比较得,例5,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解 设房租为每月x元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为,4.5 曲线的凸性、拐点与渐近线,一、曲线的凸性与拐点,二、曲线的渐近线,一、曲线的凸性与拐点,下凸,上凸,例1,解,注意到,连续曲线上上凸与下凸的分界点称为曲线的拐点.,例2,解,拐点,拐点,例3,解,二、曲线的渐近线,定义,1.铅直渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,例4,解,4.6 函数作图,利用导数作函数图形的步骤：,4.讨论函数图形的渐近线;,例1,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,例2,解,偶函数,图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,
