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1、第四章 解的存在性与连续性,4.1 连续性的概念,4.1.2 对应的连续性,下面是对教材进行部分替换的内容及相关插补内容,集值映射,集值映射是经济学为自己创造的一种分析工具，主要用于研究需求与供给问题。与通常的映射相比，集值映射是取值为集合的映射，它反映的是元素与集合之间的某种对应关系。事实上，多值函数就是集值映射的一种形式。带歧视的价值函数就是一种集值映射。消费预算、需求、供给其实也都是集值映射，甚至连经济系统本身也可以看成是一种集值映射。现实经济生活中，集值映射也是多见的。比如，消费选择。消费者往往因为百货商店的好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这件东西好，那件东西也好，买其中哪一个
2、都行。这样，这件东西和那件东西都成为他需要且能够购买的商品，但只能购买其中之一。这种现象就是集值映射的一个典型事例：选择的不唯一性。又如，抛物线 y=4x 所表达的变量 y与x之间的关系就是集值映射：。关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里，我们只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。,(一)集值映射的概念,定义 设 E 和F 是两个集合。如果对 E 中每个元素x，都有F 的子集(x)与之对应，则称这种对应关系为从 E 到F 的集值映射(set-valued map)，简称集映，记作:E F。如果集映:E F 满足条件：(xE)(x)，则称:E F 为对应(corresponde
3、nce)。,x,(x),:E F,E,F,补例1(预算对应)集合 E,F 如下:E=(p1,p2,r):(p10)(p2 0)(r0)F=(x1,x2):(x10)(x2 0)对任何(p1,p2,r)E，与之对应的F 的子集为(p1,p2,r)=(x1,x2)F:(p1 x1+p2 x2 r)。则这一对应关系就,是一个集值映射，并且是对应。我们可把(p1,p2)看成价格向量，把 r 看成收入，则集合(p1,p2,r)就是支付不超过收入的消费方案的全体预算集合，因而通常把:E F 称为预算对应。,(p1,p2,r),补例2(集族)通常的集族就是集映。比如，集族ZttT 实际上是集映 Z:T F，
4、其中 F=Zt，Z(t)=Zt(对一切 tT)。,tT,x1,x2,1.看作多值映射,通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个，甚至无限多个。,补例3.带人员歧视的价值函数 用 x 表示商品Q的数量，则下述集值映射 v:R+R+是一种带有人员歧视的价值函数：v(x)=x,exp(x)1,ln(1+x)(x 0)。这是一个多值函数。补例4.反三角函数 经常使用的各种反三角函数都是多值函数，它们就是集值映射。比如，反正玄函数 Arcsin(x)是从闭区间
5、 1,1 到实数直线 R 的集值映射，即Arcsin:1,1R,其中 Arcsin(x)=2k+arcsin(x):k=0,1,2,(2k+1)arcsin(x):k=0,1,2,。,v,x,x,v(x),x,exp(x)1,ln(1+x),x,x,y,Arcsin(x),补例5.经济系统集映 社会经济系统本身就是一个集值映射:AR，其中 A代表经济人的全体，R 是商品空间，(a)代表经济人 a 的选择集合(商品空间的子集)。经济制度及法律法规都能通过集映:AR 得以体现。,2.看作单值映射,也可把集值映射:EF 看成是一种单值映射:EP(F)，其中P(F)是 F 的幂集(power set)
6、，即由集合 F 的一切子集所构成的集合。这种看法的好处在于,与 x 对应的元素(x)被作为一个整体来看待，而不再像多值映射那样把(x)看成是对应于x的多个元素。当把集值映射看成是单值映射时,集值映射:EF 实际上代表着一个集族(x)xE，也就是说，集映:EF 与集族(x)xE是同一回事。,F,E,(x),x,把集值映射看成单值映射的又一个好处在于,当E和F为拓扑空间时,我们可以给幂集合P(F)赋予适当的拓扑结构，从而可以像单值映射那样来研究集映。,都是本质集映,例4是非本质集映。对于本质性集映，采用如下的集合论观点看待，将会给分析带来方便。,3.看作乘积集合的子集,G(),x,(x),F,E,
7、集映的图像,集映:E F 可看作是积集合 EF 的子集G()=(x,y)EF:y(x)。集合G()叫做:EF 的图像。不同集映的图像是不同的，集映与它的图像之间一一对应，因而可把集映与其图像等同看待。,这样,单值映射 f 与集值映射 表达了相同的对应关系。可见，我们更应该关心本质性集值映射:E F：存在x,yE使得 x y且(x)(y)。前面的例1,3,5,集值映射可以区分为本质性和非本质性两类。所谓非本质集映:E F，是指(x)(xE)互不相交，即对任何x,yE，只要xy，就有(x)(y)=。事实上，如果:E F 是非本质集映,那么 必然是某个单值映射 f:FE 的逆映射：(zF)(x=f(
8、z)(z(x)。,(x),(y),x,y,E,F,非本质集映,(二)各种类型的集映,E 的子集 K 在集映:E F 下的像集是指集合 K：K=(x)=yF:(xK)(y(x)1.开集映：设 E与F 都是拓扑空间。如果集映:E F 的图像G()是积空间 EF 的开子集，则称:E F 为开集映。2.闭集映：设 E与F 都是拓扑空间。如果集映:E F 的图像G()是积空间 EF 的闭子集，则称:E F 为闭集映。3.开集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE，(x)都是 F 的开子集，则称:E F 为开集值集映。4.闭集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE，
9、(x)都是 F 的闭子集，则称:E F 为闭集值集映。5.紧集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE，(x)都是 F 的紧子集，则称:E F 为紧集值集映。6.凸集值集映：设 E 为任一集合，F 为向量空间。如果对任何xE，(x)都是 F 的凸子集，则称:E F 为凸集值集映。,xK,教材上相关表述为：,(三)集映的连续性,设 E和F 都是拓扑空间，:E F，xE。,（1）上半连续性 在点 x 处上半连续是指：对于F 中 任何包含(x)的开集 V，都存在 x 的邻域 U 使得 U V。如果 在 E 中的任何点处都是上半连 续的，则称 是上半连续的集映。,（2）下半连续性 在
10、点 x 处下半连续是指：对于F 中 任何与(x)相交的开集V，都存在 x 的邻 域 U 使得(zU)(z)V)。如果 在 E 中的任何点处都是下半连 续的，则称 是下半连续的集映。,E,F,(x),U,V,上半连续,下半连续,x,F,E,U,(x),x,V,（3）连续性 在点 x 处连续是指 在点 x 处既上半连续，又下半连续。如果 在 E 中的任何点处都是连续的，则称 是连续集映。,V,U,U,集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广。的上半连续性是说(x)不会突然膨胀框得住；的下半连续性是说(x)不会陡然收缩粘得住。,1.集映连续性的意义,V,(x),(x),x,x,粘不住,框
11、不住,在 x 处上半连续，但不下半连续,在 x 处下半连续，但不上半连续,定理 设:E F，xE，E R，F R，m 和 n 都为自然数。如果 是闭集值集映且 E 是有界的，则 上半连续当且仅当 是闭集映。若(x)是闭集且存在 x 的邻域U 使得 U 有界，则 在 x 处上半连续当且仅当对任何 yF 以及任何序列 xkE 和 yk(xk)(k=1,2,)，当 xk x(k)且 yk y(k)时，y(x)。在 x 处下半连续当且仅当对任何 y(x)及 E 中任何收敛于 x 的序列xk(k=1,2,)，存在F 中收敛于 y 的序列 yk(k=1,2,)，使得 yk(xk)(k=1,2,)。如果 是
12、闭集值的闭集映且存在 x 的邻域U 使得 U 有界，则 在 x 处上半连续。,2.集映连续性的判别,n,m,本定理为研究集值映射提供了极大的便利。其中的结论(4)直接从(1)得到，它比(1)可能更为有用；结论(2)和(3)分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的。,补例6 移动通讯需求,信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴盛起来，尤其在中国，手机的使用已经比较普遍，移动通讯需求相当旺盛，移动通讯业的竞争也迅速展开。我们来分析一下移动通讯市场的需求情况。假定市场上有两家公司A和B(比如联通公司和移动公司)在提供移动通讯业务，这两家公司提供的服务相同，但话费可能不同。p1：公司
13、A的话费(元/分种)。p2：公司B的话费(元/分种)。x1：消费者使用公司A的网络通话的时间(分钟)。x2：消费者使用公司B的网络通话的时间(分钟)。r：消费者准备用于支付话费的收入。这样，平面上的向量 x=(x1,x2)表示着消费者的通话选择：使用网络A通话 x1分钟，使用网络B通话 x2分钟。这样，消费者的消费集合便为。,(1)偏好关系的确定,既然两家提供的服务完全相同，那么在不考虑价格因素的情况下，不论是用谁的网络服务，对消费者来说都是一样的。因此，消费者移动通讯消费方案的评价可以按照通话总时间多少来确定的：(x,yX)(x1,x2)(y1,y2)(x1+x2 y1+y2),即消费者认为
14、，移动通话的总时间越多越好。这样，无差异曲线为直线：x1+x2=U(0 U)通话向量 x=(x1,x2)的话费为：px=p1x1+p2 x2 预算集合为：(p,r)=xX:px r,下面来找出(p,r)中所有最好的通话向量，即确定移动通讯需求 D(p,r)。为此，对任何(p,r)，可按照 p1 p2、p1 p2、p1=p2 三种情形分别讨论。,x1,x2,o,(p,r),无,差,异,曲,线,(2)移动通讯需求的确定,我们通过图示来直观地说明移动通讯需求的确定。,可见，在两家公司提供的服务相同的情况下，话费价格低的公司完全占领市场。小灵通公司正是看到了这一特点，在2002年果断采取降价策略，在中
15、国移动通讯市场上一举获得成功。,r/p2,x1,r/p1,px=r,D(p,r),(1)p1 p2的情形,(2)p1 p2的情形,(3)p1=p2的情形,通话时间越多越好,(p,r),(p,r),通话时间越多越好,通话时间越多越好,D(p,r),D(p,r),x1,x1,x2,x2,x2,r/p2,r/p2,r/p1,r/p1,o,o,o,(p,r),r/p2,为此，任意给定收入r 0和价格，选一个开球V使得。则对包含 p的任何开集U以及U中这样的点 p=(p1,p2)：p1 p2，都有D(p,r)V=。故D(p,r)在(p,r)处不是下半连续的。,(3)移动通讯需求的上半连续性和非下半连续性,移动通讯消费者明显地满足需求上半连续性定理的条件，因此移动通讯需求集映 D(p,r)是上半连续的。但它不是下半连续的，这一事实的证明思路是去证明在 p1=p2 0 的地方D(p,r)不下半连续。,x1,x2,o,o,V,p,p1 p2,D(p,r),w,D(w,r),w1 w2,D(p,r)V=,=V D(w,r),价格空间,消费集合,4.2 解的性质,4.2.1 解的存在性,例4.5-例4.9见教材P80P81(请课外自己验证）,4.2.3 解的凹凸性,最大值定理不仅能判断最优化问题有解的条件，而且能够用,
