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1、,第四节 多元复合函数的求导法则,一、链锁法则,二、全微分的形式不变性,一、链锁法则,引入：,复合函数,怎样求它的偏导数？,问：,若上面三个函数都是具体函数，,那么，,它们的,复合函数也是具体函数，,当然，,我们会求它的,偏导数。,但是，,若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，,那么，它们的复合函数也是抽象函数，,它的偏导数,又怎么求？,这是一个新问题，,要求出这样一个函数的偏导数，,还需要新的公式。,这就是下面要研究的多元函数,的求导法则（或链锁法则）。,定理1 设函数 及 都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 在点t可导，且有,1、复合函数的中间变
2、量均为一元函数的情形,按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形来讨论：,将上式两边同时除以，得,证：,这时,的对应增量为,获得增量,由第三节定理2 的证明过程，我们可得到,由此，函数z=f(u,v)相应地,其中，,令,取极限，得,，,即,即,=,=,=,如果函数 都在点 t 可导，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数 在点 t 的导数存在，且有,注,2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形,定理2 如果函数 及 在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 在点(x,y)的两个偏导数存在，且有,已知
3、,对y的偏导数，,在点(x,y)具有对x及,函数 z=f(u,v)在对应点(u,v)具有,连续偏导数，,现在，将 y 取定为常数，,则由定理1得,+,得复合函数,对 x 的偏导数存在，且有,同理，将 x 取定为常数，,则可得（4）式.,此即（3）式.,为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公式(3)、(4)的示意图如下：,z,u,v,x,y,在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：,设 都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)有连续偏导数，则复
4、合函数,注,(1),求下列函数的复合函数的导数或偏导数,(3),(2),解,(1),+,=,+,=,+,(2),+,+,=,+,+,+,+,=,(3),+,相同,但所表示的意思不同!,必须加以区别!,对自变量 x的偏导数,对中间变量 x的偏导数,为了避免混淆,一般地,将对中间变量的偏导数记为,将对自变量的偏导数记为,例如上面的(3),可写为:,+,+,=,+,+,+,=,+,注意：,这里 与 是不同的，是把复合函数 中的y看作常数而对x的导数,是把 f(u,x,y)中的 u 及y看作常数而对x的导数.与 也有类似的区别.,由复合函数求导法则得,解：,=,+,=,+,例2,解：,+,=,+,=,
5、+,=,+,+,+,=,=,例3,解：,+,+,=,+,+,解：,+,=,+,解,注,例6 设，f 具有二阶连续偏导数,求,这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数，下标2表示对第二个中间变量v求偏导数.,解,同理有,因所给函数由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz复合而成，所以根据复合函数求导法则，有,=,=,+,+,根据复合函数求导法则，有,+,=,+,+,=,+,仍是 x,y,z的复合函数,，,=,+,+,+,=,+,例7 设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中形式.,解,=,=,由（1）式得,这样，,可看作由,复合而成.,得,两式平方后相加，得,根据复合函数求导法则，得,=,+,=,再求二阶偏导数，得,=,+,=,=,=,+,同理可得,两式相加，得,二、全微分形式不变性:设函数 具有连续偏导数，则有全微分,若u、v又是x、y的函数,，且这两个函数也具有连续偏导数,则复合函数,的全微分为,所谓全微分的形式不变性是指:无论z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分的形式不变性.,=,+,证,=,+,例8 用全微分形式不变性解下题:,解:,将du、dv代入，得,即,作 业,P822,4,6,8,9,11,12(1),13.,
