《D116高斯公式斯托克斯公式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D116高斯公式斯托克斯公式.ppt（18页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,高斯公式,第十一章,斯托克斯公式,二、斯托克斯公式,Stokes 公式,一、高斯(Gauss)公式,定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,函数 P,Q,R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式),高斯,的方向取外侧,利用两类曲面积分的联系，高斯公式还可以有,以下形式：,其中，,是在点(x,y,z)处的法,向量的方向余弦.,例1.用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解:这里,利用Gauss 公式,得,原式=,及平面 z=0,z=3 所围空间,思考:若 改为内侧,结果有何变
2、化?,若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?,利用质心公式,注意,例2.利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解:作辅助面,取上侧,介于z=0及 z=h,之间部分的下侧,为法向量的方向角.,所围区域为,则,利用质心公式,注意,思考:计算曲面积分,提示:作取上侧的辅助面,介于平面 z=0 及 z=2,之间部分的下侧.,先二后一,例3.,设 为曲面,取上侧,求,解:,作辅助面,用柱坐标,用极坐标,下侧,二、斯托克斯公式,定理2.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数,的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,则有,简介,注意:如果 是 xOy
3、面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,定理1,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1,例4.利用斯托克斯公式计算积分,其中 为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整,解:记三角形域为,取上侧,则,个边界,方向如图所示.,利用对称性,例5.为柱面,与平面 y=z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针,解:设 为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式其他形式,计算,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),2.斯托克斯
4、公式,作 业,P236 1(4),P245 2(4)P247 4(2)(3),第七节,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2),为,备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体,是 外法线向量与点(x,y,z)的向径,试证,证:设 的单位外法向量为,则,的夹角,积为V,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,
