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1、,常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第十一章,一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此齐次方程的通解为,(r 为待定常数),设,则微分,其根称为特征根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个
2、特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u=x,则得,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用
3、初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:所给微分方程的特征方程为,它有一对共轭复根,故所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,推广 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:
4、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,解:特征方程:,特征根为,则原方程通解为:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P451 1(1),(3),(5);2(1),(2),第七节 目录 上页 下页 返回 结束,
