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1、第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,17世纪（1763年）Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。,高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。
2、,高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。,本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性质，然后讨论函数的连续性。,重点,极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类,难点,极限概念及求极限的方法技巧,基本要求,能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义，会用定义验证极限,正确理解无穷小量及其与极限的关系,牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其
3、是函数 极限的保号性质,理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限,正确理解连续概念，理解间断点的分类,理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,映射与函数,一、集合,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区
4、间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,4.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,绝对值不等式的两个变形公式：,二、映射,定义.,设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f,使得,有唯一确定的,与之对应,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像.,集合 X 称为映射 f 的定义域;,Y 的子集,称为 f 的 值域.,注意：,1)映射是集合间的一种对应关系.集合 X、Y,中所含的元素不一定是数，可以
5、是其它的一些对象(或事物)。,2)对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与 之,对应关系不一定就是映射。,对应，这一点很重要，它说明集合间元素的,3)映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。,对映射,若,则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,一一映射的实质,三、函数,定义域,定义.设数集,则称映射,为定义在,D 上的函数,记为,f(D)称为值域,函数图形:,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如,反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的
6、自变量集合.,定义域,值域,又如,绝对值函数,定义域,值 域,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,问题：多值函数与单值函数的区别在哪里？,根据函数的定义，多值函数本质上不是函数，只是在使用时为了方便起见，仍然把它叫做“函数”！,几个特殊的函数举例,(1)符号函数,(2)取整函数 y=xx表示不超过 x 的最大整数,阶梯曲线,(3)狄利克雷函数,(4)取最值函数,(5)绝对值函数,定义域R,值域,三、函数的特性,1函数的有界性:,有界,无界,成立，则称函数 y=f(x),在区间 I 上是上方有界的,简称有上界。,设函数 y=f(x
7、)在区间,I 上有定义。,若存在实数 M(可正，,可负)，对一切 x I 恒有,y=f(x),f(x)M,f(x)m,在区间 I 上是下方有界的,简称有下界。,设函数 y=f(x)在区间,I 上有定义。,若存在实数 m(可正，,可负),对一切 x I 恒有,成立，则称函数 y=f(x),y=f(x),函数 y=f(x)有界,f(x)既有上界又有下界.,在区间 I 上:,如何证明或判断函数无界？,提一个问题：,证明或判断无界，通常依据:,易知：,例,在其定义域内是无界的。,故函数,在任何一个有限区间内有界。,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,4函数的周期性:,（通常说周期函数的
8、周期是指其最小正周期）.,5.反函数与复合函数,(1)反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数.,其反函数,(减),(减).,1)yf(x)单调递增,且也单调递增,性质:,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,(2)复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,复合映射的特例,u 称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,例如,函数链:,函数,但函数链,不能构成复合函数.,可定义复合,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,四.初等函数,(1)基
9、本初等函数,常数函数、幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2)初等函数,由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.,例如,都是初等函数.,一般说来,分段函数不是初等函数.,但有个别分段函数例外，例如,因为它可以改写为初等函数,的形式.,幂指函数,是否为初等函数？,它是由,与,构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数.,例,附录：几类基本初等函数图像,1.幂函数,2.指数函数,3.对数函数,4.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5.反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,其它内容请同学们自己看书,作业(自做)P21 6(5),(8),(10);8;10;11;15;18;19;20,
