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1、,第一章,二、无穷大,一、无穷小,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大,三、无穷小量的比较,当,一、无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小.,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!,性质 1：无穷小+（-）无穷小仍然是无穷小。例如：f(x)=sin x+x,时,函数,(或),则称函数,为,定义1.若,(或),则,时的无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质 2：无穷小乘有界函数仍然是无穷小。例如：f(x)=x cos x,说明
2、:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,其中 为,时的无穷小量.,定理 1.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、无穷大,定义2.若任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X),记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!（思考，提示震荡函数。）,机动 目录
3、上页 下页 返回 结束,例.证明,证:任给正数 M,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x,有,所以,若,则直线,为曲线,的垂直渐近线.,渐近线,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,都是无穷小,三、无穷小的比较,引例.,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,
4、记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,当,时,又如，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.证明:当,时,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.设,且,存在,则,证:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“等价无穷小代换法”,例 1：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 2：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,解:,原式,例4.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.等价无穷小替换定理。,常用等价无穷小:,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,作业：习题1-5 1，2，3,4,
