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1、,3.11.1 曲线的渐近线,3.11.2 函数图形的描绘,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数图形的描绘,第3章,3.11,3.11.3 弧微分,3.11.4 曲率及其计算公式,3.11.5 曲率圆与曲率半径,与平面曲线的曲率,无渐近线.,当曲线 C 上的点M 沿着该曲线无限地远离坐标原点时，,3.11.1 曲 线 的 渐 近 线,定 义：,则称直线,例如,双曲线：,有渐近线：,但抛物线：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点 M 与某一直线 L 的距离（纵或横坐标差）趋于,L 为曲线C 的渐近线。,1.水平与铅（垂）直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1.
2、,的渐近线。,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求曲线,2.斜渐近线,有斜渐近线,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,例 2.,的渐近线。,解:,又,为曲线的一条斜渐近线。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求曲线,为其两条铅直渐近线；,而,3.11.2 函数图形的描绘的步骤,设函数,1.确定作图的区域，,的定义域：,奇偶性、对称性、周期性、有界性;,2.计算,并分别求出,及,3.列表判别增减及上、下凸区间,4.求曲线,5.确定某些特殊点,等于 0,和它们不可导的点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并考虑函数,（可疑的极值点与可疑的拐点）;
3、,的渐近线;,即函数,求出极值和拐点;,（与纵、横轴的交点）,描绘函数的图形。,例3.描绘,的图形.,解:1)定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.描绘方程,的图形.,解:1),定义域为,2)求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3)判别曲线形态,(极大),(极小),4)求渐近线,为铅直渐近线,无定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又因,即,5)求特殊点,为斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6）绘图,(极大),(极小),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.描绘函数,的图形
4、.,解:1)定义域为,图形对称于 y 轴.,2)求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3)判别曲线形态,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5)作图,4)求渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.11.3 弧 微 分,设函数,内连续可导，,其图形为 AB,其弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在开区间,则弧长微分公式为：,或,若曲线由参数方程表示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,几何意义：,3.11.4 曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为：,对应切线,定义,点 M 处的曲率,注意:直线上任意点处的曲率为 0!,机动 目录 上页
5、 下页 返回 结束,转角为,弧段,上的平均曲率,例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.,解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1)若曲线由参数方程,给出,则,(2)若曲线方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,机
6、动 目录 上页 下页 返回 结束,且 l R.,其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化.,例2.我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且 l R.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,显然,例3.求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求驻点:,设,从而 K 取最大值.,这说明椭圆在点,处曲率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算驻点处的函数值:,最大.,3.11.5 曲率圆与曲率半径,设 M
7、为曲线 C 上任一点,在点,在曲线,把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此可得曲率中心公式,当点 M(x,y)沿曲线,移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线,相应的
8、曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,屈线的参数方程(参数为x).,点击图中任意点动画开始或暂停,例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?,解:设椭圆方程为,由例3可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.,例3 目录 上页 下页 返回 结束,(仍为摆线),例5.求摆线,的渐屈线方程.,解:,代入曲率中心公式,得,摆线 目录 上页 下页 返回 结束,摆线,半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意
9、点动画开始或暂停,其上定点 M,的轨迹即为摆线.,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,水平渐近线;垂直渐近线;,内容小结,1.曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2.函数图形的描绘,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,曲率中心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.曲线,(A)没有渐近线；,(B)仅有水平渐近线；,(C)仅有铅直渐近线；,(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,拐点为,凸区间是,2.曲线,的凹区间是,提示:,及,渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P75 13(2);P166 2;5,作业,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 求笛卡儿叶形线,的渐近线.,解:令 y=t x,代入原方程得曲线的参数方程:,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,笛卡儿叶形线,参数的几何意义:,图形在第四象限,图形在第二象限,图形在第一象限,点击图中任意点动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
