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1、,3.10.2 函数的最值问题,3.10.1 函数的极值的判别,3.10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极值与最值,第 3 章,函数极值的判别法,为极大点；,为极小点；,不是极值点。,2)对常见函数,极值点可能是导函数的零点 或不可导的点。,1)极值反映的只是函数的局部性质，,例如：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其极大值点，,其极大值为：,为其极小值点，,其极小值为：,注意:,极大值可能小于其极小值；,一、可疑极值点,1.驻点：,方程,的解称为函数,说明：（见P152图3.33）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的驻点。,函数的极值可以在驻点取得，但驻点未必是其极值点
2、；,而言，,但对于,满足,但 0 不是其极值点；,又如,是函数,的极小值点，,但函数在此点,并不可导，,也就是说函数的极值有可能在不可导的点处取得。,函数的极值点也可能是函数定义域内的不可导的点；,2.奇点：,函数,在其定义域内不可导的点称为函数的奇点。,分析：,如函数,当,时取得极小值且,函数的驻点与奇点统称为函数的可疑极值点。,二、极值的判别法则,）（法则）,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是函数,的可疑极值点，,满足：,且在,则,内可导，,必是函数,的极大 值点；,（小）,）（法则）,设,是函数,的驻点，,在点,处二,阶可导，,若,必是,的极大 值点。,（小）,证明：,）由条件,
3、与,异号,且,且,单调增，,单调减，,使得,则,定 理 1：(充分条件),类似地可证明极小值的情形。,）（法则）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由极限的保号性得，,有,异号，,由）的证明过程得知,必是函数,的极大值点；,类似地可证明极小值的情形。,证毕,使得,即,是函数,的极大值点；,与,例 1.,的极值。,解:,1)求导数：,2)求极值可疑点：,令,求得驻点：,而一阶不可导的点（奇点）为：,显然：,3)极值的判断（作表如下）：,是函数的极大点，,其极大值为：,是函数的极小点，,其极小值为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,从而得：,求函数,即,例 2.,的极值。,解:,2)求可疑极
4、值点：,令,得驻点,3)极值的判断：,故需用第一判别法判断，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数,1）求导数：,为其极小值；,又因,由于一阶导函数,在点,的左右邻域内不变号，,在点,处不取得极值。,故函数,显然,即,定理 2(判别法推广),则:,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,设函数,阶的导数，,处有直到,在点,1）当 n 为偶数时，,且当,必为函数的极值点，,而当,时，,是函数的极小值点；,时，,将函数,是函数的极大值点；,2）当 n 为奇数时，,一定不是函数的极值点。,展开成 n 阶带Peano余项的Taylor公式：,也就是说：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
5、必有,同号，,即当 n 为偶数时，,与,使得,由极限的保号性知，,同号，,与,从而证得,若,必为其函数的极小 值；,（大）,同号，,与,当 n 为奇数时，,若,则,同号，,与,即当,时，,而当,时，,即函数,在,不是函数的极值点；,从而知,类似可证，当,同样也不是函数的极值点。,的邻域内单调增，,时，,例如，,函数极值的判别法（定理1、定理2）的条件都是充分的；,说明:,当函数不满足定理中的条件时，其极值仍可能存在。,例如:,为函数的极大值,但不满足定理1,、定理2 的条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在例2中，,为奇数，,由定理 2 知，,不是函数的极值点。,3.10.2 最值问题
6、,则其最值只能在极值点或区间的,端点取得。,1.求函数最值的方法:,（2）求函数的最值：,最小值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,（1）求函数,在开区间,内的可疑极值点：,最大值：,2.几点注明:,则函数的最值点只能是区间的端点 a、b；,且该点又为函数,根据实际意义的确有最值点存在，,而理论求解过程中又只求得唯一的可疑极值点，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）若函数,在开区间,内只有唯一的一个,可疑极值点时，,则此点必是函数的最大 值点。,(小),的极大 值点，,(小),（2）若函数,是闭区间,上的单调函数，,（3）在实际应用中，,则该可疑,极值点必为所寻求的最值点，
7、,不必进行最值的理论判断。,例 3.,在闭区间,上的最大值和最小值。,解:,且,故函数在,处取最小值 0；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数,显然函数,函数,在开区间,内的可疑的极值点为：,在,处取最大值 5。,而各点处的函数值分别为：,因此也可通过,说明：,求最值点。,与,最值点相同,由于,可令：,(自己练习),在闭区间,上的最值问题。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求函数,(k 为某一常数),例 4.,AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条公路，,铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货物从 B 运到工厂 C 的运费最省，,解:,则,令,得,又,极
8、小值点,故 AD=15 km 时运费最省。,总运费：,从而为最小值点,问 D 点应如何选取？,铁路上 AB 段的距离为100 Km，工厂 C 距 A 处20 km,已知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,为唯一的,设,例 5.,问矩形截面的高 h,和宽 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解:,令,得,从而有,即,由实际意义可知，所求最值存在，,而驻点只一个，,故所求结果,就是最好的选择。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为：,下开始移动，,例6.,解:,而正压力,即,令,则问题转化为求函数,上的最大值问题
9、。,为多少时用力最省？,设摩擦系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,的水平与垂直分力分别为：,受力,的作用,问力,与水平面的夹角,力,的大小为：,在闭区间,令,解得：,而,取得最小值，,解:,即,令,则问题转化为求函数,上的最大值问题。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间,时取得最大值，,所以，当,因而,即用力最省。,解:,睛1.8 m,例7.,设观察者与墙的距离为 x m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义，观察者最佳站位存在，,驻点又唯一，,因此，观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚。,问观察者在距墙多远处看图才最清楚（视角 最
10、大）？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼,如右图所示，,内容小结,1.连续函数的极值,(1)可疑极值点:,驻点、奇点；,(2)第一充分条件（Th.1）：,过,由正变负,为极大值；,过,由负变正,为极小值；,(3)第二充分条件（Th.1）：,为极大值；,为极小值；,(4)判别法的推广（Th.2）,定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上寻找；,应用题可根据实际意义判别。,2.连续函数的最值,思考与练习,1.设,则在点 a 处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题 1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,
