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1、1,第一节(2),常数项级数的审敛法,2,1.2正项级数的审敛准则,若,定理 1.2 正项级数,收敛,部分和数列,有界.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数.,单调递增,收敛,也收敛.,特点:部分和单调增.,3,定理1.3(比较审敛法I),设,并且,(1)若,则,(2)若,则,证:,收敛,也收敛;,发散,也发散.,分别表示两个级数的部分和,是两个正项级数,证明的基本思路与无穷积分的比较准则I相同.,由于(2)是(1)的逆否命题，因此只证明(1)即可.,根据定理1.2,级数,必收敛.,4,注:根据性质1.2,定理1.3中的条件“”,因为改变级数的有限项，不影
2、响级数的敛散性,可以改为“”,5,推论,设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,收敛,也收敛;,发散,也发散.,是两个正项级数,(常数 k 0),6,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例1.,7,定理1.4(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,注:,un,vn均为无穷小时,l 的值反映了它们不同阶的比较.,8,的敛散性.,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的
3、极限形式知,9,例1.6 讨论下列级数的敛散性.,(1),(2),例1.7 判别级数的敛散性,思路：找出另一个级数与之作比较,找出与级数的通项的同阶无穷小量，,寻找另一个级数,的关键，在于寻找同阶，低阶，高阶无穷小量,就是找到比较,的级数了.,10,时的无穷小量.,解:,显然，该级数的通项an是,所以，它与,例1.7 判别级数,的敛散性,为了分析它的阶数，利用ln(1+x)在 x=0 处的二阶,Taylor 公式：,是同阶无穷小,而级数,故原级数收敛,11,定理1.5(积分判别法）,函数,则级数,与无穷积分,12,例1.8,注:定理1.5中的无穷积分的积分区间,可换成,其中N是任意的正整数.,
4、解,13,例1.9,无论是比较准则还是积分准则,在使用的时候都必须借助,解,于敛散性已知的级数或反常积分,因此很不方便.下面两种,审敛准则,却是利用级数自身的条件来判断级数敛散性的.,14,定理1.6 比值审敛法(Dlembert(达朗贝尔)判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,证:(1),收敛,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,由比较审敛法可知,15,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,从而,16,例5.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理1.6可知:,级数收敛;,级数发散;,17,定理1.
5、7 根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项,则,级数,且,18,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,检比法,与检根法.,19,例1.10 用适当方法判定下列正项级数的敛散性.,解,(1)用检比法.由于,故该级数收敛.,(2)用检根法.由于,故该级数发散.,20,(3)用比较准则II.由于,(4)比较准则I.由于,注:级数敛散性的审敛准则共有5个,都是充分条件.,还有级数收敛与发散的定义,收敛级数的性质等,做题,时要灵活运用.一种方法不行就换其它方法.,21,1.3 变号级数的审敛准则,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Lei
6、bnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,22,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,23,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,24,例1.11 研究级数,解,显然该级数满足Leibniz准则的条件,因此,当p0,下面证明,交错级数,易见上式右端的前n项之和就是级数,的敛散性.,时收敛,特别地,当p=1时,级数也是收敛的.,的和为ln2,并估计用,部分和近似代替级数和时所产生的余项误差.,的部分和,并且,25,Leibniz判别法是判别交错级数收敛的
7、充分条件,故级数,的和,很多的交错级数和变号级数不能用此法判别.下面的,绝对收敛准则是更常用的一种判别法.,26,绝对收敛与条件收敛,定义:对任意的级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,则称原级,27,定理1.9 若级数,证:因为,根据级数的Cauchy收敛原理，,收敛.,收敛,收敛,则级数,也收敛,若级数绝对收敛，则必收敛.,28,例7.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,29,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,小结,30,例1.12 讨论级数的敛散性,若收敛,
8、是否绝对收敛?,证:(1),而,收敛,31,其和分别为,绝对收敛级数的性质,定理1.10 绝对收敛级数重排后仍绝对收敛,而且和不变.,(P275 定理),(证明见 P275P277),定理1.11.(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,(P277 定理),说明:绝对收敛级数有类似有限项和的性质,但条件收敛级数不具有这两条性质.,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,32,THE END,33,内容小结,2.判别正项级数敛散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛
9、法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,34,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,35,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,36,备用题,1.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,不是 p级数,(2),发散,故原级数发散.,37,作业 P266 1(1),(3),(5);2(2),(3),(4);*3(1),(2);4(1),(3),(5),(6);5(2),(3),(5),第三节,38,2.,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,
