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1、一 微分形式的微积分基本定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.2 微积分的基本定理,二 积分形式的微积分基本定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一 微分形式的微积分基本定理,用定积分的法,变（上）限的定积分法,可以构造函数。,我们研究了,的一个性质：,定理,设,在,上可积,在,上连续。,我们将进一研究,性质。,在直线运动的速度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运动的路程为,则,任给,则又有,又,即有,这具有普遍性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,设,在,上可积,在,连续，,则函数,在,可微，,并有,证明,取,使,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,
2、连续，,由于,故对于,使当,时有,故对,取,则当,时有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,设,则,是,的一个原函数，,即有,注,（1）,是满足,条件的唯一原函数。,(2)定理 表明连续函数的原函数是存在的.,（3）定理把定积分这个特殊极限与导数这个完全不同的,极限联系起来。,思考,用定理证明积分中值定理,则,使,积分中值定理,证明,令,则由定理知,在,可导，且,由Lagrange中值知,使,又,得,例,证明,在,内为单调递增函数.,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,证明:令
3、,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知,存在一点,例.,试证,使,分析,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,故若令,则,例.,试证,使,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,则显然,令,、,在,连续且在,可导，,又,故由Cauchy定理知至少存在一点,使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理（Newton-Leibniz),二 积分形式的微积分基本定理,设,在,是,的任一个原函数，则,证明,法一：,由定理立即可得。,法二：,注意到,与,均是,在,原函数
4、，,故,注意到,可得,故,（2）变限积分求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,（1）,对,是积分中值定理,对,是微分中值定理,微分和积分在这里联系起来了。,（2）变限积分求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,是,的一个原函数,则,证明:,故,例,解,原式,说明 目录 上页 下页 返回 结束,求,令,则,是连续函数，故,故上述极限是,型，故,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例,确定常数 a,b,c 的值,使,解,令,则,是连续函数，故,其中,介于0与b之间。,故,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例,确定常数 a,b,c 的值,使,原式=,c 0,故,又由,得,设,例,求,解,故,求可微函数,满足,例,解,两对,求导得,得,注,上述方程称为积分方程.,上面的方法是处理积分方程重要的方法,又,得,故,
