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1、,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1)v 容易求得;,容易计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分部积分法,第四章,例1.求,解:令,则,原式,思考:如何求,提示:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求,解:令,则,原式,再令,则,故 原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,例5.求,解
2、:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,例6.求,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例8.求,解:令,则,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解:令,则,得递推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.证明递推公式,证:,注:,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,
3、2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C),例4,3)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.,例4 目录 上页 下页 返回 结束,例11.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求,解法1 先换元后分部,令,即,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 用分部积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前 u 后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,4
4、.计算格式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:,令,则,可用表格法求多次分部积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.求,解:令,则,原式,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得 0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.,求此积分的正确作法是用换元法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求,对比 P354 公式(128),(129),提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P210 4,5,9,14,18,20,21,22,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题.,求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
