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1、,第五章,定 积 分,积分学,不定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,定积分的概念及性质,第五章,三、定积分的性质,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积 A.,矩形面积,梯形面积,解决步骤:,1)大化小.,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2)常代变.,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1)大化小.,将它分成,在每个小
2、段上物体经,2)常代变.,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,3)近似和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义,任取一点,总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数,在区间,即,记作,(P194),定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,可积的充分条件:,取,定理1,定理2,且只有有限个间断点,(证明略),例1,解,将 0,1 n 等分,分点为,利用定义计算定积分,
3、注,注 利用,得,两端分别相加,得,即,例2,解,用定积分表示下列极限:,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k 为常数),证,=右端,规定,证,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是,当,积分对积分区间具有可加性,当 a,b,c 的相对位置任意时,例如,则有,综上可得,对任意位置的 c，都有,5.,则,证,推论1,则,若在 a,b 上,若在 a,b 上,证,推论2,即,例3,证,即,故,即,试证:,设,6.,则,设,7.积分中值定理,则至少存在一点,使,证,则由性质6 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,例4,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解,故所求平均速度,已知自由落体速度为,内容小结,1.定积分的定义,乘积和式的极限,2.定积分的性质,3.积分中值定理,连续函数在区间上的平均值公式,线性性质,不等式性质,积分对区间的可加性,测度性质,思考与练习,1.用定积分表示下述极限:,解,或,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为 0!,2.P202 题3，4，5,3.,证,设,则,即,证明,
