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1、5.5 稳定裕度,前面我们用奈奎斯特曲线判断系统的绝对稳定性，即系统是稳定还是不稳定。当然一个系统只有稳定才是有用的。,但除此之外还有两个问题需要考虑。首先，由于赖以分析和设计的系统数学模型不可能十分精确，尽管对模型的分析结果是稳定的，而实际系统却可能并不稳定；其次，一个稳定的系统还必须有良好的过渡响应。,从这两方面考虑，则要求系统不仅是稳定的，还应具有一定的安全系数。换句话讲，就是不仅关心系统是否稳定，还关心系统稳定的程度，这就是所谓的相对稳定性。相对稳定性也称为稳定裕度。,本节将用频率响应方法来研究系统的相对稳定性。,用频率响应方法来研究系统的相对稳定性是利用开环频率特性的极坐标图与(1，
2、j0)点的接近程度来反映闭环系统稳定或不稳定的程度。,当K=K3时，极坐标图顺时针包围了(1，j0)点，因此，闭环系统不稳定。,当K减小到K2时，极坐标图将通过(1，j0)点，闭环系统处于临界稳定，此时闭环系统在虚轴上有极点。,当K小于临界值后，系统变成稳定系统，而且，随着K的进一步减小，系统的相对稳定性将越来越高。,最小相位系统的极坐标图与(-1,j0)点的接近程度可以分别用极坐标图穿过负实轴的幅值和极坐标图幅值为1时的相角来表示。,定义极坐标图穿过负实轴(此时j(w)=180)对应的频率为相角穿越频率,用wg表示；,定义幅值A(w)=1对应的频率为幅值穿越频率，用wc表示。,当频率特性曲线
3、穿过(1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时：A(wg)=1,j(wc)=180,wg=wc。,最小相位系统稳定的条件为：当A(wc)=1时，j(wc)180当j(wg)=180时A(wg)1,可以用A(wg)和j(wc)来表示频率特性曲线接近(1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，相对稳定性越好。,定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕度，即,定义：幅值穿越频率时的相频特性与180之差为相角稳定裕度。即,Lg称为对数幅值稳定裕度或增益稳定裕度，由于Lg应用较多，通常直接被称为幅值稳定裕度。,在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值，即,显然，当Lg0时，即A(wg)
4、1和g 0时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg0和g 0是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。,幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳定裕度是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。,相角稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率wc处将相角减小g 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。相位稳定裕度是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在wc点所允许增加的最大相位滞后
5、。,增益稳定裕度反映开环增益对闭环系统稳定性的影响，而相角稳定裕度则不一样，它仅仅反映理论上只改变Gk(jw)的相位的哪些系统参量的变化对稳定性的影响。,当Gk(jw)图在任何非零的有限频率内与负实轴不相交时，由奈奎斯特稳定判据表明系统必然不包围(-1,j0)点，则增益稳定裕度为无穷大。从理论上讲，这意味着在出现不稳定之前，开环增益可达无穷大。,当Gk(s)在s右半平面有极点时，为了使闭环系统稳定，Gk(jw)图必须逆时针包围(-1,j0)点，在这种条件下稳定系统产生负的增益稳定裕度和负的相角稳定裕度。在这种情况下，首先必须确定系统的稳定性(即系统稳定还是不稳定)，然后再计算稳定裕度的数值。一
6、但稳定性被确定，稳定裕度的数值便直接表明稳定或不稳定的程度，稳定裕度的符号就没有意义了。,除了相位稳定裕度和幅值稳定裕度之外，另一种相对稳定性的度量指标是闭环幅频特性的峰值Mp。,g 越大，Lg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系统而言不可能选得非常大。一般可取g在3060，Lg 6dB相对稳定性较好。,例单位反馈系统的开环传递函数为,试分别确定Kg=3、Kg=30和Kg=300时的相角裕度。,当K=0.3，wc=0.288，g=72.3(近似值wc=0.3，g=71.6),当K=3，wc=1.583，g=23.3(近似值wc=1.73，g=20.2),当K=30，wc=5.12，g=-1
7、6(近似值wc=5.48，g=-18.4),令,K=0.3,K=3,K=30,wc0.288g1=72.3,wc1.583g2=23.3,wc5.12g1=-16,20dB/dec,40dB/dec,60dB/dec,wg3.16,Lg31.3dB,Lg11.3dB,Lg-8.7dB,一般而言，当L(w)在wc处的斜率处于20dB/dec段时，系统是稳定的；当L(w)在wc处的斜率处于40dB/dec段时，系统可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕度g 也是较小的；当L(w)在wc处的斜率处于60dB/dec段时，系统是一般是不稳定的，除非60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率大于
8、40dB/dec，此时即使稳定，相位裕度g 也是非常小的。,5.6 闭环系统的频率特性5.6.1 用向量法求闭环频率特性5.6.2 等幅值轨迹(等M圆)和等相角轨迹(等N圆),5.6.1 用向量法求闭环频率特性,对于单位反馈系统，闭环系统的频率特性F(jw)和开环系统的频率特性G(jw)的关系为,闭环系统的幅频特性和相频特性分别为,P,设开环系统频率特性G(jw)的极坐标图如图所示,当w=w1时为图中A点,向量 OA=G(jw1),令(1，j0)为P点,向量 PA=1+G(jw1),如果选择一组w值，可得一组对应的M(w)和a(w)值，据此可画出闭环系统的幅频特性和相频特性或极坐标图。但很麻烦
9、。,5.6.2 等幅值轨迹(等M圆)和等相角轨迹(等N圆),1等幅值轨迹（等M圆）,将开环系统频率特性写成复数形式：GK(jw)=P+jQ，带入F(jw),上式两边平方，整理可得,若M=1,上式变为:,这是通过 点平行于虚轴的直线,若M1,上式变为:,这是一个圆的方程。圆心在，半径为。,对于给定的M值，可算出圆心和半径，在G(s)平面上绘出一个圆,对单位反馈系统而言，当知道开环频率特性的极坐标图在GK(s)平面中的位置，就可确定闭环幅频特性。若知与某等M圆相交的频率，就可确定闭环频率特性在这个频率时的幅值。,当M1时，等M圆在p=1/2直线的左边，随着M的大，M圆越来越小，最后收敛于(-1,j
10、0)点。,当M1时，等M圆在p=1/2直线的右边，随着M的减小，M圆越来越小，最后收敛于原点。,2等相角轨迹（等N圆）,设 tga=N,整理可得,这是一个圆的方程。圆心在，半径为。,取不同的a值，可得不同的N值，可在G(s)平面画出一组等N圆。,由于任何一个角180的倍数后的正切相同，所以等N轨迹与等a轨迹不同。等a轨迹不是一个完整的圆弧。,对单位反馈系统而言，当知道开环频率特性的极坐标图在GK(s)平面中的位置，就可确定闭环相频特性。若知与某等N圆相交的频率，就可确定闭环频率特性在这个频率时的相角。,3利用等M圆和等N圆求闭环系统频率特性,在绘有等M圆图的G(s)平面上，画出开环系统频率特性
11、的极坐标图GK(jw)。GK(jw)与等M圆的交点给出了一组交点频率和与该组频率对应的闭环系统的幅值，据此可以画出以w为横坐标，M(w)为纵坐标的闭环系统幅频特性曲线。,在绘有等N圆图的G(s)平面上，画出开环系统频率特性的极坐标图GK(jw)。GK(jw)与等N圆的交点给出了一组交点频率和与该组频率对应的闭环系统的相角，据此可以画出以w为横坐标，a(w)为纵坐标的闭环系统相频特性曲线。,4闭环系统频率特性的特点,闭环系统频率特性具有低通滤波器的特性，M(0)=1或M(0)1，M()=0。,对具有峰值的M(w)曲线，称峰值MP为谐振峰值，相应的频率wP称为峰值频率或谐振频率。,频率在0区间内变
12、化时，M(w)有两种，即具有峰值或单调下降的。,由前面根据开环极坐标图和等M圆绘制闭环幅频特性过程可知，和G(jw)相切的等M圆的M值即为谐振峰值。,当M(w)曲线下降到0.707M(0)时，对应的频率wb称为闭环系统的通频带频率或频带宽度。由G(jw)曲线和M=0.707M(0)的等M圆的交点对应的频率即为wb。,注意：前面根据等M圆、等N圆和开环极坐标图绘制闭环幅频特性和相频特性，不是Bode图。当然可以通过对w和M(w)取对数后得到Bode图。,5闭环频率特性性能指标,谐振峰值Mp：系统闭环频率特性幅值的最大值。,系统带宽和带宽频率：设 为系统的闭环频率特性，当幅频特性 下降到 时，对应的频率 称为带宽频率。频率范围 称为系统带宽。,常用的有下列三项：,谐振频率wp：系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。,零频值 M(0)：闭环幅频特性的零频值,
