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1、,3,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,特殊函数的不定积分,本节内容:,第四章,3.1 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)赋值法(P.170.例3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,令,可得,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束,变分子为,递推公式,分母配方,有理函数的原函数一点是初等函数,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:已知,原式,例3.求,解:原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,解:已知,例5.求,解:原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:原式,例7.求,解:令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.2,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数
3、的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角函数有理式的积分,则,例7.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 1）求,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.2）求,解,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,1）求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:原式=,2）求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.3 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回
4、 结束,令,例11.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14 求下列积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便,
5、思考与练习,求下列积分:,解:1.,2.原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,求不定积分,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.,求不定积分,解：,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高,宜使用倒代换.,作业,P178 1,5,9,12,13,14,18,19,21,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,一、求不定积分的基本方法,1.直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.,2.换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换:),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.分部积分法,使用原则:,1)由,易求出 v;,
6、2),比,好求.,一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,1.一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.需要注意的问题,(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算.,因此不一,定都能积出.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,例1.求,解:,设,则,因,连续,得,得,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即,因此,故,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P179 2，4，5，10，11，19，21，22，24,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,
