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1、,第五章,第二节,一、多元函数的概念,二、多元函数的极限与连续性,三、多元连续函数的性质,多元函数的基本概念,一、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义1.设非空点集,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当 n=2 时,有二元函数,当 n=3 时,有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数,记作,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,等值线：另一种表示函数z=f
2、(x,y)的方法是利用,xOy面上的曲线族。当点(x,y)在其中每一条曲线,f(x,y)都取相同的值,所谓的等值线f(x,y）=C，其中C为常数。它表示,上变化时.,函数,容易看出，等值线f(x,y)=C实际上就是曲面z=f(x,y)与平面z=C 的交线在xOy平面上的投影。因此,将等值线f(x,y)=C族中各曲线升到相应得高度z=C处就不难想象出曲面z=f(x,y)的图像,例 画出函数,的等值线，并由此等值线,解:显然等值线为,可知，此曲面仅位于xOy平面的上方，与xOy平面,讨论此曲面的形状。,容易看出，当C0时，等值线,是以原点为中心的同心圆，C越,小半径越小;C=0时为原点O(0,0)
3、;C0时无轨迹。由此,切于原点，在xOy平面上方与水平平面z=C的截面,都是圆，且越往上开口半径越大,定义 设非空点集,是自变量;,是因变量，,显然，一个n 元向量值函数y=f(x)对应于m 个n 元数量值函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元向量值函数,也可记作,为运算方便，有时把,其中,与,中的向量写成,列向量，在这种情况下 n 元向量值函数 也可记作,例 我们知道,空间中曲线的参数方程为,它可以看做是从,到,的一个映射，即一元,其中,向量函数,二、多元函数的极限和连续性,定义2.3 设 n 元函数,点,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n=2 时,记,二元函数的极限可写作
4、：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,例1.设,求证:,证:,故,总有,要证,例2.设,求证：,证：,故,总有,要证,如图,注：当点,趋于不同值或有的极限不存在，,则可以断定函数极限,以不同方式趋于,不存在.,函数,说明：,对二元函数 f(X),如图,有,点X以任何方式趋近于X0时,f(X)的极限都存在且为A.,例3.设f(x,y)=,证明 f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.,证:只须证明当X 沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.,考察 X=(x,y)沿平面直线 y=kx 趋于(0,0)的情形.,如图,对应函
5、数值,从而,当 X=(x,y)沿 y=kx 趋于(0,0)时,函数极限,当 k 不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.,请考察当X=(x,y)沿 x 轴,沿 y 轴趋于(0,0)的情形.,沿 x 轴,y=0.函数极限,=0,沿 y 轴,x=0.函数极限,=0,但不能由此断定该二重极限为0,例.求累次极限,解：,和,二元函数还可以定义两个累次极限,和,累次极限,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,注.二重极限,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.,注：多元数量值函数极限的概念可推广到多元向量值函数
6、的情形,定义：设 D为一点集,则称 a 为函数,为一n元向量值函数,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,是 D 的聚点,多元函数的连续性,定义3.设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称 n 元函数,连续.,连续,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理：设 是紧集，是 A 上的,(3)对任意,(介值定理),三.多元连续函数的性质:,的连续函数，则,定理：设 是紧集，在A 上连续,f 必在A
7、 上一致连续,即,(证明略),时，恒有,注：有界闭区域都是连通的紧集，故上述定理对,有界闭区域上的连续函数都成立。,(一致连续性定理),解:原式,例5.求,例6.求函数,的连续域.,解:,内容小结,1.多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,2.多元函数的极限,3.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,P61 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P129 题 3;*4,思考与练习,解答提示:,P61 题 2.,称为二次齐次函数.,P61 题 4.,P61 题 5(3).,定义域,P61 题 5(5).,定义域,P62 题 8.,间断点集,P129 题 3.,定义域,P129 题*4.,令 y=k x，,若令,则,可见极限不存在,P61 5(2),(4),(6)6(2),(3),(5),(6)*7，*10,第二节,作 业,备用题,1.设,求,解法1 令,1.,设,求,解法2 令,即,2.,是否存在？,解:利用,所以极限不存在.,3.证明,在全平面连续.,证:,为初等函数,故连续.,又,故函数在全平面连续.,由夹逼准则得,
