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1、,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,因用凑微分法计算不定积分时自始至终可以不引入新变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改变积分限。下面举例说明。,例1 计算,一、定积分的换元法,证,的一个原函数.,(3)求出,在应用换元公式计算定积分时,应注意以下几个问题:,(1)所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件;,(2)换元积分的关键是换限。记住“上限对上限,下限对下限”;,不必象求不定积分那样把(t)还原成 x 的函数,而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可
2、.,后,例2.计算,解:令,则,原式=,且,例3.计算,解:令,则,原式=,且,例4 设,解 设x=t+1,则 t=x1,dx=dt,2004研考题,例5,设(x)在0,1上连续,则,例6.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,例7.设 f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：,解:(1),并由此计算,另解:记,则,即,(2),周期的周期函数,则有,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,例8.计算,解:,原式=,例9,见到“变限积分”就想到求导数！,例10 设 在0,1上连续,求,解,例11.证明,证:令,n 为偶数,n 为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限配元不换限边积边代限,思考与练习,1.,提示:令,则,2.设,解法1.,解法2.,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示:两边求导,得,得,3.设,求,解:,(分部积分),备用题,1.证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,证：,2.,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分,=左端,
