D62常微分方程组的基本概念.ppt

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常微分方程组的基本概念,第6.2节,一、常微分方程组的解,二、初值问题,三、解的存在唯一性定理,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是 t 的函数,则称方程式,一、常微分方程组的解,为 n 元的规范形式的微分方程组。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引进矢量符号,则微分方程可写成,下面将讨论形如,的微分方程,即,其中 A(t)称为系数矩阵。,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,向量函数u(t)的导数存在且满足,则称函数 u(t)是方程组,的解。,例如,,是方程组,的解。,方程组,的满足一定条件,的解称为初值问题的解。,例如,,是初值问题,的解。,n 阶线性微分方程的初值问题,可以写成线性微分方程组的初值问题,反之不然,例如,为了描述 n 维空间中向量之间的接近程度,下面引进范数的概念(绝对值的推广):,定理6.1(Cauchy-Piccard)设 f(x;t)在,上连续,并在点(x0;t0)DI 的局部领域,则Cauchy问题,在,上存在唯一解。,其中,满足局部李氏条件:,证明与定理3.1类似。,定理6.2若A(t),B(t)在I=(a,b)上连续,则初值问题,在I=(a,b)上存在唯一解。,证明:由于,故满足局部李氏条件,由定理6.1 结论得证。,

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