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1、第七章,定 积 分,积分学,不定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,定积分的概念,第七章,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积 A.,矩形面积,梯形面积,解决步骤:,1)划分.,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2)近似替代.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)求和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,
2、解决步骤:,1)划分.,将它分成 n,在每个小段上物体经,2)近似替代.,任取 得,已知速度,个小段,过的路程为,3)求和.,4)取极限.,3.总成本问题,设边际成本 C(x)为产量 x 的连续函数，,求产量 x,从 变到 时的总成本.,解决步骤:,1)划分.,分成 n,2)近似替代.,任取，,个小产量段,在区间,段的近似平均成本，有,中任意插入 n 1 个分点,把,作为第 i,3)求和.,4)取极限.,上述三个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“划分,近似替代,求和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义(P165),若对a,b上任一种分法,任取,总趋于确
3、定的极限 I,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f(x)在 a,b 上可积.,记作,函数 f(x)在a,b上有界，,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,质点以速度 v=v(t)作直线运动，从时刻 T1 到 T2,所通过的路程为：,边际成本 C(x)在产量 x,从 变到 时的总成本：,1、定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,说明:,不定积分,定积分,所有的原函数,一个确定的数值,注：,（1）,规定:,（2）,2、可积的充分条件:,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,(证明略),取,例 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分,分点为,注,注 利用,得,两端分别相加,得,即,例2.用定积分表示下列极限:,解:,内容小结,1.定积分的定义,乘积和式的极限,曲边梯形面积,直线运动物体的路程,总成本,2.定积分的意义,4、可积的充分条件:,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,3、,5、,思考与练习,1.用定积分的几何意义求:,
