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1、,可降阶高阶微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、,型的微分方程,令,故方
2、程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P323 1(5),(7),(10);2(3),(6);3;4,作业,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前
3、者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,3.,二阶可导,且,上任一点 P(x,y)作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0,x 上以,解:,于是,在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(99 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,再利用 y(0)=1 得,利用,得,两边对 x 求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,速度,大小为 2v,方向指向A,提示:设 t 时刻 B 位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对 x 求导,得,又由于,设物体 A 从点(0,1)出发,以大小为常数 v,备用题,的速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从(1,0)出发,试建立物体 B 的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入 式得所求微分方程:,其初始条件为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
