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1、,第八章,第二节,多元函数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一.定义,二.定义域,三.几何意义,本节的教学要求,掌握多元函数的概念会求二元函数的定义域,重点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:学习本章,要善于与一元函数类比,区,别异同.,(一)多元函数的定义,两个以上自变量 多元函数 z=f(x,y),某商品的市场需求量Qf(该商品的价格P1,消费,者收入水平Y,替代商品的价格P2).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个自变量 一元函数 y=f(x),长方形面积=长宽 A=xy.,多元函数的实例,u=f(x,y,z),长方体体积=长宽高 V=xyz.,定义8.2,机动
2、目录 上页 下页 返回 结束,也可记为D(f).,其中,变量x,y称为自变量;,为函数的定义域,z 称为因变量;,设D是一个非空的二元有序数组的集合,f,为某一对应规则,使对于每一个有序数组,确定的实数z与之对应,都有唯一,则称对应规则 f 为定义在 D,上的二元函数,记为,集合D称,对于,所对应的z值,记为,或,称为当,时,函数z=f(x,y)的函数值.,全体函数值的集合,数的值域,记为Z或Z(f).,称为函,例1,设Z表示居民人均消费收入,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义域为,S1为消费率,为二元函数,值域为,值域为,类似可定义三元函数,和,一般的n元函数.,例2,Y表示国民收入总
3、额,S2为居民消费率,则有,为二元函数,定义域为,此函数反映一个国家居民人,均消费收入依赖于国民收入总额和总人口数.,量为Z,P表示总人口数,自变量为Y 和 P,因变,自变量为x,y,因变量为z,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二)二元函数的定义域,可以是整个,z=f(x,y)的定义域几何上一般为平面区域,也可以是由几条平面曲线或直线围成的图形.,邻域,点P0(x0,y0)的 邻域是点集,内(部)点,平面点集E,点P0存在一个 邻域属于E,边界点,P0的任何邻域内既有属于E的点,E的点P0是E的一个边界点.,点P0为E的内(部)点.,边界,点集E的所有边界点的集合为E的边界.,它表示以P
4、0为圆心,以为半径的圆的内部,也有不属于,E的边界点不一定属于E.,xoy平面,外(部)点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,开集,无界区域,开区域(区域),连通集,连通的开集就是开区域,闭区域,开区域和它的边界构成闭区域,有界区域,如果存在M0,使区域E中任意点,E是开集E中所有的点都是内点,集中任意两点都可用折线连接起来的点集,也简称为区域.,半开区域,开区域和它的部分边界构成,半开区域,若对于任意给定的M0,区域E中总存在点,P(x,y)都有,则E为有界区域.,P(x,y),使,则E为无界区域.,例如，在平面上,开区域,闭区域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无界区域,无界区域,有
5、界区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开区域,也是最大的闭区域；,但非区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在平面上,是半开区域.,求函数的定义域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的定义域为,的定义域为,方法同一元函数.,长方体体积,的定义域,的定义域,如右图.,函数,是第一象限(不包括坐标轴).,解:,例3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数,的定义域.,例4,求f(x,y).,令,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,于是,所以,(三)二元函数的几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个平面区域D(f)三维空间中一个曲面F(x,y,z)=0,三维空间中
6、的一个曲面,M(x,y)f(x,y)(x,y,f(x,y)P(x,y,z),一元函数 y=f(x),二元函数 z=f(x,y),平面xoy上的一条曲线,注意:分清定义域和图形.,例如,二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,图形为右图中所示空间曲面.,三元函数,定义域为,图形为四维空间中的超曲面.,单位闭球,定义域为xoy平面,例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,作二元函数,的图形.,移项得,两边平方,这是中心为(0,1,0),半径为1的球面.,是该球面的上半部分.,函数的定义域,函数的图形,课堂练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,1.已知函数,试求,2.,求函数定义域,并画图.,解:,内容小结,多元函数的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P362 1(1)(2)(4)(5),2,3;,二元函数的定义域,二元函数的图形,一般是一个空间曲面,一般是一个平面区域,
