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1、,一阶线性微分方程和伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.3,8.3.1 一阶线性微分方程,8.3.2 伯努利方程,第八章,8.3.1 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x)0,称为上述方程一阶非齐次线性微分方程.,1.解一阶齐次线性微分方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称上述方程为一阶齐次线性微分方程;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解,一阶齐次线性微分方程通解,一阶非齐次线性微分方程特解,2.解一阶非齐次线性微分方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.解方程,解
2、:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次的方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.3.2 伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求方程,的通解.,解:这是 n=2的伯努利方程,令,代入原来已知方程得到,这是一阶线性微分方程，其通解为,将,代入,得原方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,或,此外方程还有解 y=0.,例3.解方程,解 若把所给方程变形为,即为一阶线性方程,则按
3、一阶线性方程的解法可求得通解.,也可用变量代换来解所给方程:,令,则,代入原方程,得,分离变量得,常利用变量代换把微分方程化为可解的另一类微分方程。,两端积分得,以,代入上式,即得,或,内容小结,1.一阶线性方程,方法1 先解一阶齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P357 1(1),(3),(5);2(1),(3);3(2).,作业,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,(雅各布第一 伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,
