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1、,第八章,山东交通学院高等数学教研室,第四节 多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数的求导法则,二、多元复合函数的全微分,复习回顾,一元复合函数,求导法则,微分法则,二元复合函数,求导法则,微分法则,若多元复合函数的中间变量不止一个,结果如何?,一、多元复合函数的求导法则,定理,处偏导数连续,在点 t 可导,则复合函数,证明:,则相应中间变量,且,有增量u,v,（全导数）,若函数,设 t 取得增量t,由题设知,可微,则,(全导数公式),(t0 时,根式前加“”号),推广:,(1)中间变量多于两个的情形.,设下面所涉及的函数都可微,(2)中间变量是多元函数的情形.,如,如,(3)中间变量既有一
2、元函数又有多元函数的情形.,如,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示 f(x,(x,y)固定 y 对 x 求导,表示f(x,v)固定 v 对 x 求导,与,不同,例1 设,解:,例2,解:,例3 设,求全导数,解:,(4)多元抽象复合函数求导,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导,技巧与常用导数符号.,推广:,为简便起见,引入记号,例4 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:,则,令,例5 设,全微分,其中f,偏导数，求,解:,具有二阶连续的,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做,全微分形式不变性.,例1,例 6,利用全微分形式不变性再解例1,解:,所以,练习,例1,内容小结,1 复合函数的求导法则,如,2 全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是中间变量,思考与练习,解答提示:,P31 题7,P31 题7;8(2),P31 题8(2),1 已知,求,解:,两边对 x 求导,得,由,2,求,解:,(2001考研),小结,由题设,
