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1、,常系数非齐次线性微分方程的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.8,第八章,其中,为常数,二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式.,Q(x)为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,是
2、m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对二阶非齐次常系数线性微分方程：,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根(k=0,1),机动
3、 目录 上页 下页 返回 结束,其中,是常数，,分别为l 次、n 次多项式。,型,(证明从略),例3.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P371 1(1),(3),(5),(7);,习题课2 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
