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1、,一、交错级数及其审敛法,二、绝对收敛与条件收敛,第节,任意项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S,且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项
2、级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理9.1.8.绝对收敛的级数一定收敛.,证:设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,*定理8.绝对收敛级数不因改变项的
3、位置而改变其和.,说明:证明这里从略.,*定理9.(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,不是 p级数,(2),发散,故原级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;,(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.,分析:,(B)错;,又,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
