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1、第八章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,定义:若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.,例如,定理1(必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在
2、该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,具有极值,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求函数,解:第一步 求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1
3、,2)处,不是极值;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为,则水箱所用材
4、料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成,解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,机动 目录 上页 下
5、页 返回 结束,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引入辅助函数,极值点必满足,则极值点满足:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,
6、求函数,下的极值.,在条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,要设计一个容量为,则问题为求x,y,令,解方程组,解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此,当高为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?,提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价,最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?
7、,提示:,长、宽、高尺寸相等.,内容小结,1.函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,(1)简单问题用代入法,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件),3.函数的最值问题,在条件,求驻点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆,圆周上求一
8、点 C,使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为(x,y),思考与练习,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形,面积最大.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?,提示:,目标函数:,约束条件:,答案:,2.求平面上以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
