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1、第16讲 分离变量法,例16.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。,解：根据场分布对称性，确定场域。,（阴影区域）,场的边值问题,图1.4.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面,边界条件,积分之，得通解,例16.2 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。,解:采用球坐标系,分区域建立方程,参考点电位,图1.4.5 体电荷分布的球形域电场,解得,电场强度（球坐标梯度公式）：,对于一维场（场量仅仅是一
2、个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。,电位：,16.1 分离变量法,分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。,16.1.1 解题的一般步骤：,根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；,分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；,解常微分方程，并叠加
3、各特解得到通解；,利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,16.1.2 应用实例,1.直角坐标系中的分离变量法（二维场）,例16.3 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。,解：选定直角坐标系,（D域内）,（1）,（2）,（3）,（4）,(5）,边值问题,图11.5.1 接地金属槽的截面,2)分离变量,代入式（1）有,根据 可能的取值，可有6个常微分方程：,设,称为分离常数,可以取值,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。,4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,图1.5.2
4、双曲函数,d）,比较系数法：,当 时，,（D域内）,当 时，,满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。,若，,利用 sin 函数的正交性来确定。等式两端同乘，然后从 0到 a对 x积分,图1.5.3 接地金属槽内的等位线分布,Procedure of Separation of Variables,Choose an appropriate coordinate system for the given geometry,Find the solution of ODE,Bessels or Legendres equation,according to the spe
5、cified boundary conditions,Evaluate the coefficients using orthogonal of Fourier-series,Poissons Equation?,1）选定圆柱坐标,列出边值问题,（1）,（2）,（3）,（4）,(5）,（6）,例16.4 在均匀电场 中，放置一根半径为a，介电常数为 的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由空间。试求圆柱内外电位函数 和电场强度 的分布。,根据场分布的对称性,图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒,2、圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。,当 时，,当 时，,2）分离变量,设,代入式（1）得,或,根据,根据，比较系数得,当 时，,4）利用给定边界条件确定积分常数。,根据场分布对称性,当 时，,通解中不含 的奇函数项，,解之，得,当 时，则最终解,c）由分界面 的衔接条件，得,介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。因，所以。,介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场。,图1.5.5 均匀外电场中介质圆柱内外的电场,Homework,P-16.1,P-16.2,
