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1、,高等数学教研室 物理楼E1223,主 讲宋 枚 枚,高等数学下册,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,熟练掌握直角坐标系下三重积分的计算方法。熟练掌握交换积分次序确定积分限的方法与步骤。熟练掌握柱面坐标和球面坐标下计算三重积分。,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法:,质量 M.,密度函数为,定义.设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分
2、相似.,性质:,例如,下列“乘,中值定理.,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式”极限,二、三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(“先二后一”),方法3.三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后,推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数,方法:,方法1.投影法(“先一后二”),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,方法2.截面法(“先二后一”),为底,d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,投影法,方法3.三次积分法,设区域,利用投影法结果,把
3、二重积分化成二次积分即得:,当被积函数在积分域上变号时,因为,均为为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.,小结:三重积分的计算方法,方法1.“先一后二”,方法2.“先二后一”,方法3.“三次积分”,具体计算时应根据,三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.,1,1,Dxy,1,.,.,.,x+2y+z=1,Dxy,I=,x+2y=1,其中 为三个坐标,例1.计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,y2=x,.,例2.,y2=x,.,例2.,。,。,y2=x,.,D,例2.,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的
4、关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,d,d,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为及+d 的园柱面；平面 z及 z+dz；,柱面坐标下的体积元素,dr,r,rd,d,z,底面积：r drd,dz,.,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d;半径为及+d 的园柱面；平面 z及 z+dz；,柱面坐标下的体积元素,d,d,d,z,底面积：dd,dz,dV=,.,.,dV,柱面坐标下的体积元素,将三重积分化为三次积分,1,.,Dxy:,z=0,用哪种坐标？,.,柱面坐标,Dxy,I=,1,例3.计算,1,Dxy,.,Dxy:,z=1,锥面化为:,r=z,1,.,.,.,例4
5、.计算,当被积函数是,积分域由圆柱面(或一部分)、锥面、抛物面,用,所围成的.,柱面坐标,计算三重积分较方便.,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,S,r,M,r=常数:,=常数:,球面S,动点M(r,),C,r=常数:,=常数:,S,S球面,半平面P,动点M(r,),M,P,=常数:,锥面C,.,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+d r,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,球面坐标下的体积元素,半平面 及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围
6、成：,rsind,球面坐标下的体积元素,半平面 及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r 2,sin drdd,sin drdd,r 2,rcos),dV,dV=,例4.,当积分区域是球形域,或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有,的形式时,用,球面坐标,计算三重积分较简便.,或是球的一部分;,三、三重积分综合应用,四、三重积分的对称性算法,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,解,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,*说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,内容小结,1.将,用三次积分表示,其中 由,所,提示:,六个平面,围成,思考与练习,2.设,计算,提示:利用对称性,原式=,奇函数,作业,P162 1(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);*10(2);11(1),*(4),
