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1、Gauss 消元法&矩阵的初等变换,欧阳顺湘北京师范大学珠海分校,Gauss 消元法,线性方程组,如果线性方程组,的系数行列式D不等于零，则方程组有唯一解,行列式的应用Crammer法则,（1）,Crammer法则的使用有极大的局限性（1）Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数 个数相等的线性方程组；（2）Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的 线性方程组的唯一解；即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数 行列式等于零，则Crammer法则失效。（3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。如何解决这些问题呢？,Gauss 消元法,先看阶梯形线性方程组,易算出,Gaus
2、s 消元法求解线性方程组基本思想,转化为阶梯形线性方程组（m=n的情形）,将,【例1】解方程组,【解】,方程组(1)中第2个方程减去第1个方程的2倍，第3个方程减去第1个方程，得,再将方程组(2)中第2个方程减去第3个方程的4倍，得,将方程组(3)中第2，3方程交换，得,易算出,它是原方程组的解.,阶梯形方程组,（一）线性方程组的初等变换：,2、用一个非零的数乘某一方程；,3、把一个方程的k倍加到另一个方程上.,1、互换两个方程的位置；,消元过程实际上是方程组(1)经过一系列初等变换化成阶梯形方程组,再经一系列初等变换求出解；,是否同解?,定理初等变换总是把方程组变成同解方程组.,称为方程组的
3、增广矩阵,称为方程组的系数矩阵,设有线性方程组,线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系,消元过程实际上是方程组(1)经过一系列初等变换化成阶梯形方程组,再经一系列初等变换求出解；,（一）线性方程组的初等变换：,2、用一个非零的数乘某一方程；,3、把一个方程的k倍加到另一个方程上.,1、互换两个方程的位置；,矩阵的初等变换,初等行变换（1）互换任意两行的位置：（2）用非零数乘某行：（3）用一个常数乘矩阵的某一行，再加到另一行上去：,消元过程相当于对该方程组的增广矩阵反复施以初等行变换化成阶梯形矩阵.,作业,Page 173 2.(用消元法)读明白前述九章算术中题目的解法，并用我们矩阵的语言表述。（参下两页）,3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26,
