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1、GCT学习指导,广西大学数学与信息科学系,主讲教师 林桂莲,第 二 讲,高 等 数 学,第一章 函数 极限与连续,考试内容及要求,一、掌握函数的概念及表示法,1、函数的定义，会求函数的定义域及函数值。,2、会判别函数的特征：有界性、单调性、周期性、奇偶性。,3、掌握函数的分类：,第一类、基本初等函数（六类含16个式 子）,熟悉掌握：-名称、表达式、定义域、值域、特征、图形。,含四项，有加、减、乘运算,含三项，有加、减、乘、除、复合运算,含一项，有复合、加法运算,均为初等函数,如：,由基本初等函数经有限次的四则运算及复合运算，并用一个式子表示的函数，统称为初等函数。,第二类、初等函数,(3)、非
2、初等函数,不是初等函数的一切函数，统称为非初等函数。,如：（1）分段函数不能用一个式子表示的函数,（2）无穷项相加-由级数表示的函数,(3)由积分表示的函数,（4）由极限表示的函数,本讲内容在历届考题中，,函数、极限、连续的概念及其性质与运算，是学习高等数学的的基础，亦是由初等数学过渡到高等数学的桥梁，有关它的内容几乎渗透在每一道试题中，考生不能忽视。,约占48分,二、理解极限的概念，并会求各种形式的极限,1、数列极限：,2、函数极限：（1）按自变量的变化趋势分为六种：,的说法,的说法,（2）按因变量的变化趋势分为七种：,4、理解无穷小（大）的概念，掌握无穷小的性质及比较。,3、掌握极限的运算
3、法则、性质、两个重要极限 及两个极限存在准则。,三、理解函数连续与间断的概念，及闭区间上连续函数的性质,的连续性：极限值=函数值,1、在点,2、单侧连续,形式一,形式二,左连续,右连续,3、会求函数间断点及判别的类型:,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,GCT历年真题分析,，则有,故选取 B,故选取 C,典型例子分析,一.函数（归结为三个方面）,1.求函数的定义域,2.讨论函数的特征,3.函数符号的运用,例1：设函数,则,是,(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数,B,二、求极限的方法与技巧,关键：判别类型，然后选择相应方法,消除不定因素。,1.定式的
4、极限(1)代值法(2)运算法则(3)无穷小的性质,例1:,例2:,2、,（1）因式分解或有理化去零因子,型的求解方法,例3：,-分子或分母中含有根式时用,（2）、等价无穷小代换法,I、常用式子,当,时，,II、推广：,若,当,时，,如：当,时，,时，,时，,例4.（1）求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如：,（2）,（3）,共轭因子法,拆项,（4）变量替换法,（5）洛必塔法则,（3）重要公式I,例5：,二、,型未定式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)化为无穷小讨论,（2）洛必达法则,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束,型,如：求,（处理 型）,（3）看阶法,推广I：,为非负常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广二：若在某一过程中为“,分母同除以绝对值最大的项。,”型，则分子，,4、“,”型及“,这种类型不能直接求极限，应先化为“,”或“,然后再求极限，常用方法：,”型不定式,”型，,（1）通分；（2）有理化；,（3）变量替换法；（4）下放。,例6：,三、求极限的其它方法举例,1、利用导数定义,例7：（1）设,存在，则,（2）设,可微，,四、函数的连续与间断,1.函数连续的等价形式,有,2.函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.闭区间上连续函数的性质,有界定理;,最值定理;,零点定理;,介值定理.,例8.设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常见题型:连续的逆问题,
