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1、高一数学必修一复习,集合结构图,集合,集合含义与表示,集合间关系,集合基本运算,列举法,描述法,图示法,子集,真子集,补集,并集,交集,(1)确定性：集合中的元素必须是确定的.,1.集合中元素的性质:,(2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.,(3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.,自然数集（非负整数集）：记作 N,正整数集：记作N*或N+,整数集：记作 Z,有理数集：记作 Q,实数集：记作 R,2.常用的数集及其记法,（含0）,（不含0）,ex1.集合A=1,0,x,且x2A,则x。,-1,子集：AB任意xA xB.真子集：,AB xA，xB，但存在x0B且x0A.,集合相等
2、：AB AB且BA.,空集：.,性质：A，若A非空，则A.AA.AB，BCAC.,3.集合间的关系:,子集、真子集个数：,一般地，集合A含有n个元素，,A的非空真子集 个.,则A的子集共有 个;,A的真子集共有 个;,A的非空子集 个;,2n,2n1,2n-1,2n-2,4.并集:,5.交集:,6.全集:,一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.,7.补集:,类比并集的相关性质,并集的性质,交集的性质,练习,1.集合A=1,0,x,且x2A,则x。,3.满足1,2 A 1,2,3,4的集合A的个数有 个,-1,B,3,变式：,4.集合S，M，N，P如图所
3、示，则图中阴影部分所表示的集合是()(A)M(NP)(B)MCS(NP)(C)MCS(NP)(D)MCS(NP),D,总结,例已知集合Ax|2x5，集合Bx|m1x2m1，若，求m的取值范围.,已知B和A是一个连续的数集，且A是一个已知的数集，B是一个带有参数的数集,设集合 A=x|1 x 2，B=x|x a，若 AB，则a 的取值范围是 A，a2 B，a2 C，a1 D，1a2,由图看出 a 1,思考：1、改A=1，2),2、改 A=x|x 2 x 2 0,3、改 A=x|0,4、改 AB=,5、改 AB=A,6、改 B=x|1 x a,a 1,a 2,当 a 1 时 B=，不满足题意,当
4、a 1 时，B=(1,a)，满足题意,故 a 1,已知集合A=a|二次方程 x 2 2x+a=0 有实根，a R，B=a|二次方程 ax 2 x+2=0 无实根，a R，求 AB，AB。,解：由 x 2 2x+a=0 有实根,0,即 4 4a 0,a 1,A=(,1,由 ax 2 x+2=0 无实根,0,即 18a 0,AB=R,故 AB=,5.设,其中,如果，求实数a的取值范围,此时方程无根，0,方程有两个相等的根x1=x2=a,方程有两个相等的根x1=x2=a,方程有两个不相等的根x1=x2=a,当集合A、B是一个二次函数的的根组成的集合，其中集合A=a,b是一个已知的集合，B是一个带有参
5、数m二次函数的根组成的集合，求m的值此时对B 进行以下四种情况进行讨论,知识结构,概念,三要素,图象,性质,指数函数,应用,大小比较,方程解的个数,不等式的解,实际应用,对数函数,函数的概念,函数的三要素：定义域，值域，对应法则,A.B是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。,函数的定义域：,使函数有意义的x的取值范围。,求定义域的主要依据,1、分式的分母不为零.2、偶次方根的被开方数不小于零.3、零次幂的底数不为零.4、对数函数的真数大于零.5、指、对数函数的底数大于零且不为1.,6、实际问题
6、中函数的定义域,例1 求函数 的定义域。,例2.,抽象函数的定义域：指自变量x的范围,求函数解析式的方法：,待定系数法、换元法、配凑法,1,已知 求f(x).,2,已知f(x)是一次函数，且ff(x)=4x+3求f(x).,3，已知 求f(x).,求值域的一些方法：,1、图像法，2、配方法，3、逆求法，4、分离常数法，5、换元法，6单调性法。,a),b),c),d),*求函数值域的方法:,主要问题及方法,1、已知函数f(x)=,x+2,(x1),x2,(1x2),2x,(x2),若f(x)=3,则x的值是(),A.1,B.1或,C.1,D.,D,一个函数的三要素为：定义域、对应关系和值域，值域
7、是由对应法则和定义域决定的,判断两个函数相等的方法：,1、定义域是否相等（定义域不同的函数，不是相等的函数）,2、对应法则是否一致（对应关系不同，两个函数也不同）,例、下列函数中哪个与函数y=x相等,反比例函数,1、定义域.2、值域,3、图象,k0,k0,二次函数,1、定义域.2、值域,3、图象,a0,a0,指数函数,1、定义域.2、值域,3、图象,a1,0a1,R+,y,x,o,1,y,x,o,1,对数函数,1、定义域.2、值域,3、图象,a1,0a1,R+,1,1,在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：,函数的性质：单调性,如果对于定义
8、域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.,一般地，设函数 f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,3.(定义法)证明函数单调性的步骤:,简单函数的单调性,1、一次函数 y=kx+b2、二次函数 y=ax2+bx+c3、反比例函数 y=k/x4、指数函数 y=ax5、对数函数 y=logax6、幂函数 y=xa,证明：,设x1，x2（0，+），且x1x2，则,f（x）在定义
9、域上是减函数吗？,减函数,例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。,若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。,解：二次函数 的对称轴为,由图象可知只要，即 即可.,练习,已知函数 y=|x 2 x|，(1)作出函数的草图；(2)写出函数的单调区间。,由图知：此函数的单调递增区间为,单调递减区间为,单调性：,当a1时，f(x)=ag(x)的单调性与g(x)相同;,当0a1时，f(x)=ag(x)的单调性与g(x)相反;,A,解,设:,则：,对任意的,有,又 是减函数,在 是减函数,同理 在 是增函数,函数 的单调区间，并证明.,单调性：,当a1
10、时，f(x)=logag(x)的单调性与g(x)相同;,当0a1时，f(x)=logag(x)的单调性与g(x)相反,D,总结：y=logag(x)的单调性 1、先求定义域 2、求出g(x）在定义域内的单调性 3、再求出y=logag(x)的单调性,单调性的应用：,抽象函数的单调性,重要思想拆项配凑,一、函数的奇偶性定义,前提条件：定义域关于数“0”对称。,1、奇函数 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,2、偶函数 f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,二、奇函数、偶函数的图象特点,1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。,2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。,奇函
11、数里的定值：如果奇函数y=f(x)的定义域内有0，则f(0)=0.,如果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，又不是偶函数。,奇函数关于原点对称的两个区间上的单调性一致；偶函数则相反。,利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(-x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.,例4 已知函数f(x)=（m-1)x2+2mx+3是偶函数，求函数的解析式。,例5 函数,是定义在（-1,1）,上的奇函数，
12、且，求函数的解析式。,（三）利用奇偶性求解析式,例6 设f(x)=ax5+bx3+5（其中a,b为常数，x是任意实数），若f(-2)=-6,则f(2)=?,（三）利用奇偶性求解析式,例3 已知函数f(x)是定义在(-,+)上的奇函数.当x(0,+)时，f(x)=x2-2x+3，则当x(-,0)时，f(x)=_.,5已知定义在-4,4上的奇函数f(x)为减函数，且f(1-2a)+f(-a)0,求实数a的取值范围,已知 f(x)是奇函数，当 x 0 时，f(x)=x 2 2x，求当 x 0 时，f(x)的解析式，并画出此函数 f(x)的图象。,解：f(x)是奇函数,f(x)=f(x),即 f(x)
13、=f(x),当 x 0 时，f(x)=x 2 2x,当 x 0 时，f(x)=f(x),=(x)2 2(x),=(x 2+2x),函数f(x)为定义在R上的奇函数,在(0,+)上单调递增,且f(3)=0,则不等式f(x)0的解集为。,3,-3,提示：可以描绘大致图形如右,(-3,0)(3,+),例1 判断函数 的奇偶性。,变：若函数 为奇函数，求a。,例2 若f(x)在R上是奇函数，当x(0,+)时为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)0的解集为,例3 若f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且在-1,1是单调增函数，求不等式f(x-1)+f(2x)0的解集.,抽象函数的奇偶性：,1、已知函
14、数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，求证：f(x)是偶函数,已知函数 f(x)=x 2+2x 3，作出下列函数的图象：1）y=f(x)2）y=f(|x|)3）y=|f(x)|,图象的变换：,最值：,几何意义：,最值：,几何意义：,函数的最值与值域、单调性之间的关系：,若函数在闭区间a,b上是减函数，则f(x)在a,b上的最大值是，最小值是，其值域是.,若函数在闭区间a,b上是增函数，则f(x)在a,b上的最大值是，最小值是,其值域是.,f(a),f(a),f(b),f(b),函数在某个区间上具有单调性，该函数的最值在端点处取得
15、.,f(b),f(a),f(a),f(b),解：设x1，x 2是区间2，6上的任意两个实数，且x1x2，则,f(x1)-f(x2),2x2x16，,x2-x10,(x1-1)(x2-1)0,于是f(x1)-f(x2)0，即：f(x1)f(x2),因此函数在 时取得最大值，最大值是 在 时取得最小值，最小值是。,x=2,2,x=6,0.4,例题：,利用单调性求最值,例题：,例3.求函数y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值.,解：,作出函数的图象，由图可知，y-3，3.所以函数的最大值为3，最小值为-3.,利用图象求最值,例题：,例4.求函数 的最大值及最小值.,令u=-x+x+2，则u0，
16、,u0，y0，即ymin=0.,函数的最大值为，最小值为0.,配方法求函数最值,解：函数的定义域为-1,2,例5.求f(x)=x-2ax-1在区间0，2上的最大、小值.,例题：,提示：求出函数的对称轴x=a；就a与区间0,2的关系进行讨论；可分对称轴在区间左边、中间、右边 几种位置关系来考虑；注意数形结合，借助图象帮助解题.,基本初等函数,aras=ar+s(a0,r,sQ)；(ar)s=ars(a0,r,sQ)；(ab)r=ar br(a0,b0,rQ).,指数幂的运算,7,18,1.对数的运算性质:,(2),(3),如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：,指数函数与对数函数,在R上是增
17、函数,在R上是减函数,在(0,+)上是增函数,在(0,+)上是减函数,(1,0),(0,1),单调性相同,指数函数与对数函数,B,总结：在第一象限，越靠近y轴，底数就越大,指数函数与对数函数,若图象C1，C2，C3，C4对应 y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx,则（）A.0ab1cd B.0ba1dc C.0dc1ba D.0cd1ab,D,规律：在x轴上方图象自左向右底数越来越大！,1/16,1）,指数函数与对数函数,分类讨论,指数函数与对数函数,奇偶性：奇函数,单调性：减函数 分离常数法,求值域的方法,指数函数与对数函数,指数函数与对数函数,三、幂函数的性质:,
18、.所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);,幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中的不同而各异.,如果0,则幂函数在(0,+)上为减函数。,3.如果0,则幂函数 在(0,+)上为增函数;,2.当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.,（1）图象都过（0，0）点和（1，1）点；,（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即 在（0，+)上是增函 数。,（1）图象都过（1，1）点；,（2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在（0，+）上是减函数。,（3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。,图象又如何?,试写
19、出函数 的定义域,并指出其奇偶性.,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,若f(x)是单调函数,将下表填充完整:,y,x,O,x2,x1,y,x,O,x1=x2,二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系,函数与方程,？函数在区间（a,b）上有零点，则f(a)f(b)0,？函数在区间（a,b）上有f(a)f(b)0，则在区间（a,b）上有零点,例：关于 x 的方程 x 2(k+1)x+2k=0 的两根异号，则实数 k 的取值范围是 _,解：令 f(x)=x 2(k+1)x+2k,(,0),由图可知：f(0)0,作业：,1.已知集合Ax|2x5，集合Bx|m1x2m1，若ABA，求m的取值范围.,3、求下列函数yx22(3x1)的值域,
