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1、Householder变换,则,记,即：该变换将向量 变成了以 为法向量的平面的对称向量。,Householder变换又称为反射变换或镜像变换，有明显的几何意义。在 中，给定一个向量，令表示关于平面（以 为法向量）的反射变换所得像，如图所示，,定义 设 是一个单位向量，令,则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。,性质5.1.1 设H是一个Householder矩阵，则,（1）H是Hermite矩阵，；（2）H是酉矩阵，；（3）H是对合矩阵，；（4）H是自逆矩阵（5）diag(I,H)也是一个Householder矩阵;（6）det H=-1。,其中 为实数。,定理
2、 设 是一个单位向量，则对于任意的,当 时，取单位向量 使,存在Householder矩阵H，使得,证明 当x=0时，任取单位向量,则,则,所以,当 时，取,由于,推论1 对于任意的，存在Householder矩阵H，使,其中 为实数。,推论2 对于任意的，存在Householder矩阵H,上述结论表明，可以利用Householder变换将任意向量化为与第一自然基向量 平行的向量（共线）。,，其中,使得,得,例2 用Householder变换将向量化为与 平行的向量。,因此,解 由于,为了使,为实数，取,令,则,也可取 或,说明,2023/7/6,1、Givens矩阵和Givens变换,从上图中我们可以看出旋转变换并不改变向量的模，所以它是正交变换，从而T是正交矩阵，且,
