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1、第三节 无穷积分收敛的判别方法,定理1（柯西收敛准则）,与,有,一、无穷积分的性质,推论1 若无穷积分 收敛，则,无穷积分 收敛,推论2 若无穷积分 收敛，,则无穷积分 也收敛。,推论3 无穷积分 收敛，,定理2 若无穷积分 收敛,则无穷,积分 也收敛,其中 是常数,定理3 若无穷积分,与,都收敛，则无穷积分,且,无穷积分的分步积分与换元积分,c是正常数。,二、无穷积分的敛散性判别法,也发散.,也收敛.,证明,1）根据定理1，,有,由不等式,有,无穷积分 收敛.,2）用反证法，根据1）可以得到矛盾。,推论4,函数,且极限,1.若,则无穷积分,收敛；,则无穷积分,发散。,2.若,（1）,证明,1
2、)由(1)式，,有,则,当 时，无穷积分 收敛。,则无穷积分 收敛。,2）当 时，由(1)式，,有,或,已知,无穷积分 发散，则,发散。,当,由(1)式，,有,或,已知,无穷积分 发散，则,发散。,例1,判别无穷积分 的敛散性.,例2,判别无穷积分 的敛散性.,例3,判别无穷积分 的敛散性.,例4,判别无穷积分(是参数)的敛散性.,三.绝对收敛,条件收敛的定义,定义1 若无穷积分,收敛，则,称无穷积分,绝对收敛。,定义2 若无穷积分,收敛，而,发散，则称无穷积分,条件收敛。,定理5（狄利克雷判别法）,设函数 与 在区间 有定义，,在任何有穷区间都可积，若,)积分 为 的有界,函数，即有,）函数
3、 是单调的，且,则无穷积分 收敛,证明,由柯西收敛准则和积分第二中值定理,由条件2),有,与,存在 有,又因为 有界,有,则,即无穷积分 收敛.,定理6（阿贝尔判别法）,设函数 与 在区间有定义，,在任何闭子区间都可积，若,）函数 在 单调并且有界,）无穷积分收敛,则无穷积分 收敛,证明,因为函数 在 单调且,有界,所以它存在有穷极限,设,则,即函数 单调减少地趋于零.,无穷积分,也收敛.,已知 收敛,即证.,例5,证明：无穷积分 条件收敛,例6,讨论无穷积分 与,的敛散性,注:1.对于级数 收敛,对于无穷积分 收敛,2.对于定积分,若 在a,b可积,在a,b也可积,反之不成立,加上什么条件可以推出此结论?,对于无穷积分,若 在 收敛,在 也收敛.反之不成立.,总结:判断无穷积分收敛的方法,1.利用定积分的计算方法,求出积分.,2.用柯西收敛准则.,3.用比较法.,4.用狄利克雷和阿贝尔判别法.,练习,1.讨论无穷积分的收敛性.,
