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1、第六节 平面及其方程,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、平面的截距式方程,五、点到平面的距离,四、两平面的夹角,法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,一、平面的点法式方程,垂直于平面的非零向量,必有,问题：,解：,（简称为法向量）:,-点法式方程,可以看出:,必有,解：,例1,解,过点M0(x0,y0,z0)且法线向量为n=(A,B,C)的平面的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.,所求平面的方程为 3(x3)7(y0)5(z1)0 即 3x7y5z40,例2求过点(3 0 1)且与平面3x7y5z120平行的平面方程,解,所求平面的法线向量为
2、n(3 7 5),平面的点法式方程,例3.求过三点,即,解:取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,所求平面的一个法向量为,即,由点法式方程，得,解,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+
3、C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例1.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,解,将已知两点代入得,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,三.平面的截距式方程.,分析1:利用三点式,按第一行展开得,即,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得
4、,平面的截距式方程,四、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,例1 求平面 2x2yz50与各坐标面的夹角.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:,此平面的法线向量为n(2 2 1),解,平面与yOz面的夹角的余弦为,平面与zOx面的夹角的余弦为,因此有,例2.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,外一点,求,设,解:设平面法向量为,在
5、平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为,五.点到平面的距离公式,(点到平面的距离公式),例1 求点(1 2 1)到平面x2y2z100的距离.,点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0距离:,解:,.,点(1 2 1)到平面x2y2z100的距离为,例2.,解:设球心为,求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,从而,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,解,所求平面的点法式方程为:,练习,所求平面的点法式方程为:,解法（1）,所求平面的法向量与,
