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1、三、LMI工具箱介绍,由“现代控制理论概述”部分，我们知道判别一个系统的稳定性归结为求解关于矩阵P的线性矩阵不等式ATP+PA=Q 0则系统稳定。,要确定一个线性矩阵不等式系统，需要以下2步(1)定义每个矩阵变量的维数和结构.(2)描述每个LMI中各个项的内容.,setlmis()或setlmis(lmiso),lmisys=getlmis,以getlmis结束,以setlmis开始,X=lmivar(type,struct),用lmivar定义矩阵变量,lmiterm(),用lmiterm描述LMI的每项,3.1 用LMI工具箱描述一个线性矩阵不等式系统,(1)定义对称块对角结构的矩阵变量X
2、时，,struct 是r2维矩阵，该矩阵第 i 行是(m,n),X=lmivar(type,struct)用lmivar定义矩阵变量,type=1；,其中m是Di 的阶次,1 表示Di 是一个满的对称矩阵；0 表示Di 是一个数量矩阵；1 表示Di 是一个零矩阵；,例：如何定义如下矩阵变量 若X是一个33维的对称矩阵,则用X=lmivar(1,3 1)来定义。,若,，其中D是55 维对称矩阵，,d1 和 d2 是两个标量，I2 是22维的单位矩阵，,则用X=lmivar(1,5 1;1 0;2 0)来定义。,(2)定义长方型结构的矩阵变量X 时，则type=2；struct=m,n表示矩阵的维
3、数.,例,如何定义一个24维的对称矩阵变量X？,X=lmivar(2,2 4),(3)定义其他结构的矩阵变量X时,X的每个元是0或xn,其中xn是第n个决策变量，则type=3；,struct是与变量X同维的矩阵,第i行第j列是 0 如果X(i,j)=0；n 如果X(i,j)=xn；n 如果X(i,j)=xn；,%1#LMI lmiterm(1 1 1 X,1,A,s)lmiterm(1 1 1 S,C,C)lmiterm(1 1 2 X,1,B)lmiterm(1 2 2 S,-1,1)%2#LMIlmiterm(-2 1 1 X,1,1)%3#LMIlmiterm(-3 1 1 S,1,1
4、)lmiterm(3 1 1 0,1),描述属于第几个不等式，不等号的小边+，大边.,描述该项所在块的位置,0块不描述;对称的块只描述一次.,描述该项是变量还是常数.,变量的左系数、右系数.,可选项,只能是s,描述转置.,lmiterm的格式,以 为例。,使用LMI工具箱描述,其中XR66 和 S=DTDR 44，,则,定义2个矩阵变量,X=lmivar(1,6 1)S=lmivar(1,2 0;2 1),setlmis()X=lmivar(1,6 1)S=lmivar(1,2 0;2 1)%1#LMIlmiterm(1 1 1 X,1,A,s)lmiterm(1 1 1 S,C,C)lmit
5、erm(1 1 2 X,1,B)lmiterm(1 2 2 S,-1,1),%2#LMIlmiterm(-2 1 1 X,1,1)%3#LMIlmiterm(-3 1 1 S,1,1)lmiterm(3 1 1 0,1)lmisys=getlmis,LMI工具箱提供了用于求解3类问题的LMI求解器.,1、可行性问题 寻找一个xRN,使得满足LMIA(x)B(x)相应的求解器是feasp.一般表达形式tmin,xfeas=feasp(lmisys,options,target)原理：通过求解如下的辅助优化问题 min t s.t.A(x)B(x)tI来求解线性矩阵不等式系统lmisys的可行性问
6、题.,3.2 线性矩阵不等式求解器,求解器的2个输出量:tmin:前述凸优化问题的全局最优值：tmin 0,则系统lmisys是不可行的；xfeas:系统lmisys可行时,给出一个可行解,用dec2mat提取出该可行解.求解器的3个输入量:lmisys:如前所述;target:可选,为tmin设置目标值,只要tmin target,优化迭代过程就结束.target=0是默认值.options:可选量,5维向量,描述求解参数,见资料.,求解器feasp tmin,xfeas=feasp(lmisys,options,target),例：求满足 P I 的对称矩阵P,使得A1T P+PA1 0,
7、A2T P+PA2 0,A3T P+PA3 0其中,解:新建feaspexample.m文件.,function mainfunctionclc;%清屏A1=-1 2;1-3;%输入已知矩阵A2=-0.8 1.5;1.3-2.7;A3=-1.4 0.9;0.7-2;setlmis()%开始设置系统框架,P=lmivar(1,2 1)%定义矩阵变量lmiterm(1 1 1 P,1,A1,s)%1#LMIlmiterm(2 1 1 P,1,A2,s)%2#LMIlmiterm(3 1 1 P,1,A3,s)%3#LMIlmiterm(-4 1 1 P,1,1)%4#LMI:Plmiterm(4
8、1 1 0,1)%4#LMI:Ilmisys=getlmis%完成系统框架设置tmin,xfeas=feasp(lmisys);%求可行解PP=dec2mat(lmisys,xfeas,P)%提取解矩阵,运行结果：,2、具有LMI约束的一个线性目标函数的最小化问题 minx cTx s.t.A(x)B(x)相应的求解器是mincx.一般表达形式copt,xopt=mincx(lmisys,c,options,xinit,target),求解器的2个输出量:copt:目标函数值cTx的全局最优值；xopt:最优解,可用dec2mat提取相应的矩阵变量.求解器的5个输入量:lmisys:如前所述;
9、c:已知向量;options:可选量,5维向量,描述求解参数,见资料.,2、具有LMI约束的一个线性目标函数的最小化问题 minx cTx s.t.A(x)B(x)相应的求解器是mincx.一般表达形式copt,xopt=mincx(lmisys,c,options,xinit,target),求解器的5个输入量:xinit:可选,最优解xopt的一个初始猜测.当输入值不 是可行解时,将被忽略;否则可能加快求解过程.target:可选,是目标函数的一个设定值,当cTxtarget,求解过程结束.,例：考虑优化问题 minX Trace(X)s.t.AT X+XA+XBBTX+Q 0,其中X是一
10、个对称的矩阵变量，,解:根据Schur补性质，上述优化问题等价于,新建mincxexample.m文件：,function mainfunctionclc;%清屏A=-1-2 1;3 2 1;1-2-1;%输入已知矩阵B=1;0;1;Q=1-1 0;-1-3-12;0-12-36;setlmis()%开始设置系统框架X=lmivar(1,3 1);%定义矩阵变量lmiterm(1 1 1 X,1,A,s);%1#LMIlmiterm(1 1 1 0,Q);lmiterm(1 1 2 X,1,B);lmiterm(1 2 2 0,-1);lmisys=getlmis;%完成设置系统框架,n=de
11、cnbr(lmisys);%得到lmisys系统变量个数c=zeros(1,n);%为变量c预设存储空间for j=1:3%循环命令求系数c Xj=defcx(lmisys,j,X);c(j)=trace(Xj);endoptions=1e-5,0,0,0,0;%精度要求copt,xopt=mincx(lmisys,c,options);%求可行解Xopt=dec2mat(lmisys,xopt,X)%提取解矩阵,运行结果：,3、广义特征值的最小化问题 min l s.t.C(x)D(x)0 B(x)A(x)lB(x)相应的求解器是gevp.一般表达式如下lopt,xopt=gevp(lmis
12、ys,nlfc,options,linit,xinit,target),求解器的2个输出量:lopt:优化问题的全局最优值；xopt:最优解,可用dec2mat提取相应的矩阵变量.求解器的6个输入量:lmisys:l=1时的约束条件,如前所述;nlfc:含l的约束的个数已知向量;,3、广义特征值的最小化问题 min l s.t.C(x)D(x)0 B(x)A(x)lB(x)相应的求解器是gevp.一般表达式如下lopt,xopt=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target),求解器的6个输入量:options:可选量,5维向量,描述求解参数,见资料.
13、linit,xinit:可选,初始猜测linit=l0,xinit=x0不是可行 解时,将被忽略;否则可能加快求解过程.target:可选,只要可行解(l,x)满足ltarget,结束.,调用求解器gevp是须遵循以下规则 确定包含l的LMI A(x)B(x)即l=1的情况；总把A(x)B(x)放在lmisys的最后；要求有约束0 B(x),或保证0 B(x)成立的任何其他约束。例：求解，A1A2A3见ppt第11页。,解：新建gevpexample.m文件：,function mainfunctionclc;%清屏A1=-1 2;1-3;%输入已知矩阵A2=-0.8 1.5;1.3-2.7;
14、A3=-1.4 0.9;0.7-2;setlmis()%开始设置系统框架P=lmivar(1,2 1);%定义矩阵变量lmiterm(1 1 1 0,1);%PI Ilmiterm(-1 1 1 P,1,1);%PI Plmiterm(2 1 1 P,1,A1,s);%1#lhslmiterm(-2 1 1 P,1,1);%1#rhs,alpha=1,lmiterm(3 1 1 P,1,A2,s);%2#lhslmiterm(-3 1 1 P,1,1);%2#rhs,alpha=1 lmiterm(4 1 1 P,1,A3,s);%3#lhslmiterm(-4 1 1 P,1,1);%3#rhs,alpha=1 lmisys=getlmis;%完成设置系统框架alpha,popt=gevp(lmisys,3);%求可行解Popt=dec2mat(lmisys,popt,P)%提取解矩阵运行结果：,
