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1、第2章 系统的时域分析-导读,系统分析讨论的主要问题是：在给定的激励（输入）作用下，系统将产生什么样的响应（输出）。为了确定一个连续LTI系统对给定激励的响应，就要建立描述该系统的微分方程，并求出其给定初始状态的解，即完全响应。连续LTI系统的数学模型为线性常系数微分方程；而离散LTI系统的数学模型为线性常系数差分方程。,时域分析法直观明了，物理概念清楚。时域分析法是学习系统变换域方法的基础。本章讨论连续时间LTI系统的两种时域分析方法，即微分方程法和卷积积分法。,第2章 系统的时域分析-导读,本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型-常系数线性微分方程。然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次
2、解和特解，再由初始条件求待定系数。为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入响应和零状态响应。仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得到；零状态响应的求解则用卷积方法。冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，在求解系统响应和进行系统特性分析都起到了很重要的作用。,第2章 系统的时域分析-导读,本章主要内容,2.1 连续LTI系统的数学模型2.2 经典的微分方程的求解方法2.3 零状态响应和零输入响应2.4 系统的冲激响应和阶跃响应2.5 离散LTI系统的模型与求解,第7讲 连续LTI系统的数学模型,LTI系统数学模型的建立依据,本课程主要研究由电阻、电容、电感等器
3、件构成的电系统。数学模型的建立的基本依据：基尔霍夫电流定律（KCL）基尔霍夫电压定律（KVL）元器件的电压电流关系（VCR）,建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束,拓扑约束：电路基尔霍夫定律,LTI系统数学模型的建立依据,KCL:对任一节点，流入与流出该节点的电流之和为零，即,KVL:对任一回路，设沿顺（反）时针所有支路电压都为电压升（或都为电压降），则有,VCR：对电阻R、电感L、电容C，设其两端电压与通过的电流取关联参考方向,2)电容元件,3)电感元件,1)电阻元件,LTI系统数学模型的建立依据,系统微分方程的建立,对于C、R、L所在的回路，根据KVL有,以,为输入，,列出系统的微分
4、方程,为输出,对方程两边求导,将,代入上式,系统微分方程的建立,根据KVL列出两个回路方程,已知 为电压源激励信号,列出系统的微分方程,为输出,消去,得到,如图所示系统，us(t)为激励信号，电阻R1上的电压u(t)为响应，L1=L2=1H，R1=R2=1，C=2F，试写出系统的微分方程,系统微分方程的建立,【解】设网孔、及各电流参考方向如图所示。应用KCL列节点 a 的电流方程为 iC=i1-i2,对网孔 I、II 应用KVL分别列方程,系统微分方程的建立,【解】,代入元件参数值，有,由以上两式,得,系统微分方程的建立,再利用元件的电压、电流关系，并代入元件参数值,所以,系统微分方程的建立,
5、LTI系统的数学模型的一般描述,一般的，对于含有n 个储能元件的LTI系统，其数学模型可用n阶的、常系数的、线性的微分方程来描述，即：,或：,式中：ai和bj均为常数，一般mn,思考与练习,以,为输入，,列出系统的微分方程,为输出,答案是：,算子法建立微分方程,定义微分算子：,注意：这里的p只是代表微分运算的一个算子（1/p代表积分运算），p并不是变量。,微分算子使用举例,微分算子方程：p2 y(t)+3py(t)+2y(t)=2pf(t)+5 f(t),或：(p2+3p+2)y(t)=(2p+5)f(t),例：,例：1)py(t)=pf(t)，不等于 y(t)=f(t),2)(p+1)(p+
6、2)y(t)=(p+2)(p+3)f(t),不等于(p+1)y(t)=(p+3)f(t),如：(p+a)(p+b)=p2+(a+b)p+ab,(1)代数运算规则：可以像代数量那样进行乘法运算、因式分解。但是，一般情况下不能约掉,微分算子特性,(2)公因子规则：含p的有理分式的分子、分母公共因子或算子方 程两边的公共因子一般不允许消去。,如：,但是：,上式中，除非x(-)=0，否则分母、分子中的p不能消去。,微分算子特性,【即】微分、积分次序不能颠倒，两种运算不一定能抵消。,对于n阶单输入单输出系统,用微分算子表示为：,微分方程的算子表示,称D(p)为系统的特征多项式；称D(p)=0为系统的特征
7、方程。,写成：,微分方程的算子表示,H(p)为系统的传输算子。,电路系统微分算子方程的建立,电容元件,电感元件,R、L、C元件的算子模型：,电阻元件,有了算子，电路微分方程的建立就像代数方程的建立一样方便简单。,由电阻、电感、电容的伏安关系，可以得到其算子表示：,电路系统微分算子方程的建立,电路系统微分算子方程的建立,计算得：,根据电路微分算子运算模型，列写回路方程，得,电路系统微分算子方程的建立,如图所示电路，写出输出电流i(t)和激励 x(t)之间的微分方程,象解代数方程组那样，使用克莱姆法则解此方程，得,则微分方程可表示为,代入元件参数，可得,电路系统微分算子方程的建立,考研热身,设理想运算放大器处于线性运用状态，根据KCL可列出等式,将,代入上式，得,整理得,
