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1、Mathematica概述,第一章,Mathematica是通用数学软件之一,它的原始系统是由美国物理学家Stephen Wolfram领导的一个小组开发的,最初的目的是用来进行量子力学研究的。Mathematica是目前比较流行的符号运算软件之一,它不仅可以完成微积分线性代数及数学各个分支公式推演中的符号演算,而且可以数值求解非线性方程、优化等问题。还可以进行图形、声音处理以及文件处理。Mathematica的基本系统是用C语言编写的,因此能够很方便地移植到各种计算机系统上。在本章中,我们要介绍Mathematica中提供的基本操作。,1.1 Mathematica的工作环境当用户运行Mat
2、hematica时,将会首先出现Mathematica窗口。该窗口与其它应用软件略有不同，它主要包括一个执行各种功能的工作条和一个工作区窗口，这两个部分是分开的。,Mathematica的基本用法并不复杂，首先单击工作区窗口，可以看到工作区窗口的标题栏以高亮度显示，表示该窗口被选种。然后输入希望的计算式，如“2+3”，然后同时按下“shift”键和“Enter”键，或小键盘“Enter”键，执行该计算。,每次使用Mathematica，第一次计算时间总是比较长，从第二次计算开始就会很迅速了。Mathematica将把每次的输入记录在案，并给每个输入记录用“Inn”编号，计算结果用“Outn”编
3、号，第n个计算结果对应第n个输入内容。用户的每一次输入和Mathematica的每一次输出，以及相对应的输入和输出，都被称为“细胞”。可以看到，细胞都用“”来标识了,1.2 Mathematica的基本功能1.数值计算功能在选中的窗口中输入要计算的公式后同时按下“Shift”键和“Enter”键，Mathematica将执行该计算并给出计算结果，例如：In1:=4+9-6Out1=7Mathematica可以自动调节计算结果的长度：In2:=8111因为上面最后一个例子所得的整数,其位数超过了150,所以符号被使用上作为表示继续的标志,以说明输出的结果被转到了下一行.In3:=2/3+4/7O
4、ut3=,In4:=N2500Out4=3.27339 10150In5:=Sqrt75Out5=5In6:=N%Out6=8.66025数学常数,如 E,I和pi,均为内置的。In7:=NEOut7=2.71828In8:=NPiOut8=3.14159In9:=Sqrt-9Out9=3i当使用N函数时，Mathematica只显示6位有效数字（默认），可以得到更精确的显示，如In10:=NPi,35,一切 标准 数学函数，这里都有提供。如，自然对数用Log函数表示，以2为底，1024的对数用Log2，1024表示。三角函数（Sin，Cos，Tan，Sec，等等）及它们的反函数（ArcSin
5、，ArcCos，等等），可以作用于任何类型的数或表达式。In11：=LogEOut11=1In12：=Log2，1024Out12=10In13：=CosPi/3Out13=In14：=ArcTan1Out14=In15：=SinPi CosPiOut15=0,2.符号运算功能Mathematica的最大特点是进行符号运算，得到解析解。举例如下:(1)求解代数方程,可以使用Solve函数例如解方程ax2+bx+c=0In16:=Solvea x2+b x+c=0,x(2)求不定积分，可以使用Integrate函数例如计算In17：=Integrate1/（1-x3),x(3)求定积分，可以用I
6、ntegrate函数例如计算In18:=IntegrateSinx,x,0,Pi(4)求导数,可以用D函数例如求ln(x)的二阶导数In19:=DLogx,x,2In20:=Dfgx,x,（5）求二重积分，也用Integrate函数例如计算In21：=IntegrateSqrtx2+y2,x,0,1,y,0,x(6)用DSolve函数可以解微分方程例如解y（x）=ay（x）In22：=DSolveyx=a yx,yx,x再如求y(x)=ay(x),y(0)=1,y(0)=0的特解In23:=DSolveyx=a yx,y0=1,y0=0,yx,x,3.Mathematica的绘图功能,Math
7、ematica具有强大的图形功能.用户可以使用它作出函数的二维或三维图形.,例如画出(1)函数sin(x)+sin(1.6x)的二维图形(2)函数sin(xy)的三维图形,In23:=PlotSinx+Sin1.6x,x,0,40,Out23=-Graphics-,In24:=Plot3DSinx y,x,0,4,y,0,4,PlotPoints-30,Out24=-SurfaceGraphics-,这里只列出Mathematica的一小部分功能,Mathematica还能进行很多复杂的数学运算.后面的章节中将陆续介绍到这些功能.,1.3 从Mathematica中获得信息,1.用“？”来得到
8、帮助比如，下面得到了函数Sin的帮助信息：In24:=?SinSinz gives the sine of z.2用“？”来得到更多的帮助信息 In34:=?Log Logz gives the natural logarithm of z(logarithm to base e).Logb,z gives the logarithm to base b.AttributesLog=Listable,NumricFunction,Protected,3.用“？”得到一些目标信息除了得到帮助信息外，使用“？”还可以得到一些目标信息。比如，下面是查询所有以“O”开头的函数的名称的方法：In43:=
9、?O*其中“*”是可以代替任何字符的通配符4用“？”来查询Mathematica中使用的特殊输入形式的信息这里是查询“:=”符号的例子：In27:=?:=Lhs:=rhs assigns rhs to be the delayed valus of lhs.Rhs is maintained in an unevaluated form.when lhs appears,it is replaced by rhs,evaluated afresh each time.,5.提示信息当用户的输入有错误时，Mathematica将给出很详细的提示信息来指出用户的错误。比如，平方根函数只能有一个参数
10、，而当用户输入两个参数时，Mathematica将提醒用户，只需要一个参数：In34:=Sqrt3,3 Sqrt:argx:Sqrt called with 2 arguments;1 argument is expected.Out34=Sqrt3,3,每个提示信息都有一个名称，比如上面这个提示信息的名称为“sqrt:argx”。用户可以用Off 函数去掉这个提示信息：In46:=off sqrt:argx,当用户再进行相同输入时，提示信息就没有了。当然，如果用户的输入是错误的，也不会得到结果。用On函数还可以恢复提示信息：In56:=onsqrt:argx,6.使用帮助平台和电子书。Mat
11、hematica的工作条中的Help菜单将为我们提供详尽的帮助信息。选择“Help”菜单中“Help Browser”子选项后，将出现如图1-5所示的Help窗口,用户可以在文本框中输入需要帮助的内容，然后单击“Go To”按钮，下面的显示窗口中将出现帮助信息。用户还可以按索引查询有关内容。Mathematica中还为我们提供了一本详尽的教材“The Mathematica Book”，点击帮助窗口中的该选项，我们可以通读全书或选择有关章节阅读。,图1-5帮助窗口,第二章 Mathematica运算初步 使用Mathematica，最基本的就是进行各种运算，如数值运算、符号运算和解方程等，本章
12、对此进行初步介绍。2.1 Mathematica的算术运算,在前面已经介绍，输入算式，就可以让Mathematica为我们做各种算术运算，如：In2:=3.55+12.897/(4.33-1.203)2.3Out2=4.4869在Mathematica中，基本的算术运算符号如表2-1所示。,表2-1 Mathematica中基本的算术运算符号,需要说明以下几点：(1)在乘法运算时，可以使用“*”或空格表示乘号，但最好不要用空格，因为这样往往看不清楚。(2)在Mathematica中做算术运算时，可以使用圆括号“（）”表示优先运算。用户只能使用圆括号，但可以使用多重圆括号。(3)优先级越高，在同
13、一括号中越先计算。,2.精确值和近似值当输入整数时，Mathematica认为这个数是精确的，它会计算出精确结果，比如In7:=(30000*3454656757)9,如果只想得到计算结果的近似值，可以在输入的末尾加上“/N”，从而得到用科学计数法给出的近似值了。In8:=(30000*3454656757)9/N Out8=1.3795410126,使用“Nexpr”也有同样的效果：In2:=N(30000*3454656757)9 Out2=1.3795410126,当用户的输入中含有小数（甚至象“345.”这样带有小数点的数），Mathematica的计算结果都会是近似的。当近似的计算结
14、果位数较多时，就会采用科学计数法。例如：In9:=(30000*3454656757)9.0 Out9=1.3795410126当然，用户在输入小数数据时，也可以采用科学计数法：In3:=2.56*105 Out3=256000或使用下面更简单的输入方式：In4:=45.89*55 Out4=4.5891056,Mathematica能给出用有理分数表示的结果：In34:=3/8+2/67 Out34=Mathematica可以把结果简化到最简分数。,3.指定精度的计算当使用“/N”或“N”进行计算时，Mathematica能给出具有固定位数有效数字的计算结果，而只要在“N”中加入用户要求保留
15、的有效数字的位数(注意其中要计算的表达式与所要求保留的有效数字的位数应用逗号隔开)，就可以得到所要求的近似值。例如下面求出了 的有50位有效数字的近似值：,In4:=NPi,50在上面的输入中，“Pi”表示常数。在Mathematica中，一些常用常数的表示方法见表2-2：表2-2 Mathematica中常数的表示,注意这些常数书写时第一个字母必须大写，否则Mathematica将不能识别。,4.Mathematica的数学函数Mathematica中自带了很多数学函数，常用的如表2-3所示：表2-3 Mathematica中一些常用的数学函数,使用Mathematica中的函数要注意以下几
16、点：（1）Mathematica的函数都以大写字母开头。这是为了与用户自定义的变量和函数相区别。,（2）Mathematica函数的自变量必须放在方括号内。因为不使用方括号，Mathematica可能会无法区分用户是要使用函数运算还是要做一个简单的算术运算。（3）这些数学函数的自变量可以是数值，也可以是算术表达式。(4)当函数有两个参数时，两个参数之间要用逗号隔开。例如做取模运算：In12:=Mod8.6,3Out12=2.6(5)计算三角函数时，必须用弧度值。使用角度值时，要先乘以Degree常数（Degree=/180），转换为弧度值。例如：In15:=Sin45 DegreeOut15:=,5.复数在Mathematica中用I表示复数单位，I必须大写。例如：In45:=(5+4I)*(3I)/(2+I)Out45=表2-4 列出了关于复数的几个函数，在做复数运算时可以使用：,表2-4 Mathematica中复数运算的函数,
