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1、第6章 MATLAB数据分析与数学计算,Content,6.1 数据统计处理6.2 数据插值6.3 多项式计算6.4 非线性方程数值求解6.5 函数极值,部分常用数值分析函数,6.1 数据统计处理,6.1.1 最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。1)求向量的最大值和最小值求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。求向量
2、X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。,例6-1 求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x)%求向量x中的最大值y,l=max(x)%求向量x中的最大值及其该元素的位置,2)求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：(1)max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。(2)Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。(3)max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回
3、一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。,求矩阵最小值的函数是min，其用法和max完全相同。例6-2 分别求34矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。,3)两个向量或矩阵对应元素的比较,函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：(1)U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。(2)U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。,例6-3 求两个23矩阵x
4、,y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。,6.1.2 求和与求积,数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是矩阵A的第i列的元素和。prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。,prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当di
5、m为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。例6-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;S=prod(A,2)prod(s)%求A的全部元素的乘积,6.1.3 平均值和中值,求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式类似sum,为：mean(X)：返回向量X的算术平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。mean(A,dim
6、)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。,例6-5 分别求向量x=1,0.5,3,4,5与y=0,1.2,4,7,2,4,6,7的平均值和中值。,6.1.4 累加和与累乘积,使用cumsum和cumprod函数能求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式同sum,为：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。cumsum(A
7、)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累乘积向量。cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。,例6-6 求向量s=(1!,2!,3!,10!)的值。Codes:s=cumprod(1:10),6.1.5 标准方差与相关系数,1求标准方差在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函
8、数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列的标准方差。std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。当dim=1时，求矩阵A各列元素的标准方差；当dim=2时，则求矩阵A各行元素的标准方差。flag取0或1，按不同公式计算标准方差；当flag=0时，按1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。,例6-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。X=;%输入矩阵x.Y=std(X,0,1);%求各列元素的标准差.y=std(X,
9、0,2);%求各行元素的标准差.思考：设二维矩阵x为正态分布数据，请计算其标准差。,2相关系数MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。,例6-8 生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=randn(10000,5);M
10、=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X),6.1.6 排序,MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,例6-9：对矩阵做各种排序,A=1,-8,5;4,12,6;13,7,-13;sort(A)%对A的每列按升序排序-sort(A)%对A的每行按降序排序X,I=sort(A)%对A按列排序，并将每个元
11、素所在行号送给矩阵I.,6.2 数据插值,6.2.1 一维数据插值在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。注：X1取值范围不能超出X给定范围，否则给出“NaN”错误。,例6-10 函数y=f(x)对应点为：x=0.2,0.5,0.9,1.2,1.4,1.6,1.8,
12、2;y=0.2,0.5,1.4,3.4,2.6,2.1,1.8,1.2;用不同的插值方法计算y在x=/2点的值。注：MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。,例6-11 某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度()。设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：h=6:2:18;t=18,20,22,25,
13、30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline)%用3次样条插值计算,6.2.2 多维数据插值与曲线拟合,略，不讲。,6.3 多项式计算,n次多项式是形如P(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an的式子。在MATLAB中，多项式用行向量表示，多项式的系数按降幂排列：P=a0 a1 an-1 an或P=a0,a1,an-1,an如：多项式x3-12x2+25x+6表示为p=1,-12,25,6,6.3.1 多项式的生成与表达,例：已知向量A=1 34 80 0 0，用此向量构造一多项式(x-1)(x
14、+34)(x+80)(x-0)(x-0)并显示结果。解：PA=poly(A)PAX=poly2str(PA,X)X5+113 X4+2606 X3-2720 X2,6.3.2 多项式的运算,1).多项式的算术运算参加加减运算的多项式应该具有相同的阶次。多项式乘法采用conv函数，除法由deconv函数完成。2).求根求多项式的根采用roots函数。3).求值函数polyval可以将某个特定数值代入多项式函数polyvalm可以求出当多项式中的未知数为方阵时的值。4).求导使用polyder函数对多项式求导。,1)多项式的四则运算,1多项式的加减运算：与向量加减相同，无专门指令。2多项式乘法运算
15、函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数按降幂排列的行向量。例6-16 求多项式x4+8x3-10与多项式2x2-x+3的乘积。,3多项式除法函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。例6-17 求多项式x4+8x3-10除以多项式2x2-x+3的结果。P1=1,8,0,0,-10;p2=2,-1,3;q,r=deconv(P1,p2),2)多项式的导函数,
16、对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)：求P*Q的导函数p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。,例6-18 求有理分式P/Q=1/(x2+5)的导数。命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q),3)多项式的求值,MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和多项式的自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值
17、。,1代数多项式求值polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：Y=polyval(P,x)若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。例6-19 已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1.2和一个23矩阵为自变量计算该多项式的值。,2矩阵多项式求值polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而p
18、olyval(P,A)的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例6-20 仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个22矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。,4)多项式求根,n次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：x=roots(P)其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。,例6-21 求多项式x4+8x3-10的根。命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知
19、多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。,例6-22 已知 f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5(1)计算f(x)=0 的全部根。(2)由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式g(x),应用举例,例：将表达式(x-4)(x+5)(x2-6x+9)展开为多项式形式，并求其对应的一元n次方程的根。p=con
20、v(1-4,conv(1 5,1-6 9)px=poly2str(p,x)x=roots(p),6.4 非线性方程数值求解,6.4.1 单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。,例6-8 求f(x)=x-10 x
21、+2=0在x0=0.5附近的根。步骤如下：(1)建立函数文件funx.m。function fx=funx(x)fx=x-10.x+2;(2)调用fzero函数求根。z=fzero(funx,0.5)z=0.3758,6.4.2 非线性方程组的求解,对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为：X=fsolve(fun,X0,option)其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想
22、改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中off为不显示，iter表示每步都显示，final只显示最终结果。optimset(Display,off)将设定Display选项为off。,例6-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5)附近的数值解。(1)建立函数文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);(2)在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fs
23、olve函数求方程的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x=0.6354 0.3734,将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：q=myfun(x)q=1.0e-009*0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。,6.5 函数极值,MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数fmin和fmins，它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为：x=fmin(fname,x1,x2)x=fmins(fname,x0)这两个函数的调用格式相似。其中fmin函数用于求单变量函数的最小值点。fname是被
24、最小化的目标函数名，x1和x2限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的最小值点，x0是求解的初始值向量。,MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(-f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上的最大值。,例6-13 求f(x)=x3-2x-5在0,5内的最小值点。(1)建立函数文件mymin.m。function fx=mymin(x)fx=x.3-2*x-5;(2)调用fmin函数求最小值点。x=fmin(mymin,0,5)x=0.8165,Good good study,day day up!,
