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1、数据拟合,（curve fitting）,推求一个解析函数y=f(x),使其通过或近似通过有限序列的数据点(xi，yi)，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据探索用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，用连续曲线（曲面）近似地刻画离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法,据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料如下：(人口数单位为：百万),（1）在直角坐标系上作出人口数的图像。（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年的人口数。,实验问题,如何确定a,b?,线性模型,1 曲线拟合问题的提法:,x,y,0,+,+,+,+,+,+,+,+,一、曲线
2、拟合（平面）,确定f(x)使得,达到最小,最小二乘准则,.用什么样的曲线拟合已知数据?,常用的曲线函数系类型：,画图观察；理论分析,指数曲线：,双曲线（一支):,多项式：,直线：,拟合函数组中系数的确定,二、人口预测线性模型,对于开始提出的实验问题,代入数据，计算得,从而得到人口数与年份的函数关系为,把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）12.52亿,1999年实际人口数量为.亿。,线性预测模型,英国人口学家Malthus根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口自然增长的指数增长模型。,三、人口预测的Malthus模型,基本假设:人口(相对)增长
3、率 r 是常数,x(t)时刻t 的人口,t=0时人口数为x0,指数增长模型,实际中，常用,1.由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。,2.预测后100年（每隔10年）的人口状况。,3.根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人口模型的改进情况。,例,解：,解方程组:,prog41.m%This program is to predict the number of population%format longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940
4、;1950;1960;1970;1980;x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);,a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2;ab=inv(A)*D;disp(a=);disp(ab(1);disp(b=);disp(
5、ab(2);for i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i);endfor i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i);endplot(t1,x1,r*-,t1,xx1,b+-,t2,x2,r*-,t2,xx2,b+-);,a=-49.79535457790735b=0.02859807120038,仿真结果表明：人口增加的指数模型在短期内基本上能比较准确地反映人口自然增长的规律，但长期预测误差很大，需要修正预测模型。,拟合曲线,原始数据曲线,四、人口预测的Logistic模型,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素
6、对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),k人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,例的Logistic模型留给同学们练习,多项式逼近连续函数的Weierstrass第一逼近定理：,多项式拟合,设f(x)是闭区间a,b上的连续函数，则对于任意给定的0,存在多项式P(x),使,a,b成立。,对一切x,多项式拟合的Matlab指令,a=polyfit（xdata，ydata，n）其中n表示多项式的最高阶数 xdata，ydata 为要拟合的数据，它是用向量的方式输入。输出参数a为拟合多项式 y=a1xn+anx+an+1的系数a=a1,an,an+1。多
7、项式在x处的值y可用下面程序计算。y=polyval(a,x),用多项式拟合人口模型,%This program is to predict the model of population by 4-degree polynomial%prog42.m%format longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;t=t1;t2;P1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2
8、;P2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;P=P1;P2;n=4;%The degree of the fitting polynomial%a=polyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);%a is the coefficients vector from n-degree to 0-degree%plot(t,P,r*-,t,y,b+-);,a=1.0e+006*-0.00000000000014 0.00000000107892-0.00000304878595 0.00381927346
9、813,仿真结果表明,人口增加的模型用多项式拟合能比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预测具有指导意义。,例2:海底光缆线长度预测模型,某一通信公司在一次施工中,需要在水面宽为20m的河沟底沿直线走向铺设一条沟底光缆.在铺设光缆之前需要对沟底的地形做初,探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示.,步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算提供依据.基本情况如图所示.,(1)预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值.,(2)作出铺设沟底光缆的曲线图.,解：用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下,仿真结果表明,拟合曲线能较准确地反映光缆的走势图.,The length of the label
10、 is L=26.3809(m),假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击.,%prog45.m This program is to fit the data by polynomial%format longt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;a=polyfit(t,P,12);yy=polyval(a,x);disp(yy=);disp(yy);plot(x,yy,r*-,t,P,b+-);L=0;for i=2:100 L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2);enddisp(The length of the label is L=);disp(L);,请估计我国2010年人均国民生产总值（GNP）；国内生产总值（GDP）；消费者物价指数（CPI）。,
