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1、第3章 MATLAB矩阵分析与处理,3.1 特殊矩阵3.2 矩阵结构变换3.3 矩阵求逆与线性方程组求解3.4 矩阵求值3.5 矩阵的特征值与特征向量3.6 矩阵的超越函数,MATLAB 强大的 计算能力 以 矩阵运算 为基础。,3.1 特殊矩阵,3.1.1 通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。rand：产生01间 均匀分布 的随机矩阵。randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。,通用的特殊矩阵 用于专门学科的特殊矩阵,例3.1 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。,
2、建立一个33零矩阵。zeros(3)建立一个32零矩阵。zeros(3,2)设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。A=1 2 3;4 5 6;%产生一个23阶矩阵Azeros(size(A)%产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵,(2)均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。命令如下：y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5）,例3.2 建立随机矩阵：(1)在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。x=20+(50-20)*rand(5),reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变（存储结构不变）的前提下，将矩阵A重新排成mn的
3、二维矩阵。,3.1.2 用于专门学科的特殊矩阵(1)魔方矩阵,魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。,例3.3 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。,M=100+magic(5),(2)范得蒙矩阵范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列 为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。,可以用一个 指定向量 生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数
4、vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩阵。,(3)希尔伯特矩阵,使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。,例3.4 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。命令如下：format rat%以有理形式输出H=hilb(4)H=invhilb(4),在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。,(4)托普利兹矩阵,托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的
5、元素相同。,toeplitz(x,y)：生成托普利兹矩阵的函数，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x,y均为向量，两者不必等长。toeplitz(1 2 3 4,1 6 7 8)toeplitz(x)：用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。例如T=toeplitz(1:6),(5)伴随矩阵,p(x)=0的根是A的特征值.,MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命令：p=1,0,-7,6;compan(p),p(x)是A的特征多项式,(6)帕斯卡矩阵我
6、们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。,例3.5 求(x+y)5的展开式。在MATLAB命令窗口，输入命令：pascal(6)矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。,3.2 矩阵结构调整变换,3.2.1 对角阵 与 三角阵1对角阵对角矩阵:只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵;数量矩阵:对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵;单位矩阵:对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。,(1)提取矩阵的对角线元素设A为mn矩
7、阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。,(2)构造对角矩阵设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一个nn(n=m+|k|)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。,例3.6 先建立55矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。,A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,
8、12,19,21,3;11,18,25,2,19;,D=diag(1:5);D*A%用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数,2三角阵上三角阵:所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵;下三角阵:则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。,(1)上三角矩阵求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数:triu(A)函数:triu(A,k)函数:其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。,(2)下三角矩阵在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数:tril(A):tril(A,k):其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu
9、(A,k)完全相同。,3.2.2 矩阵的转置 与 旋转,1矩阵的转置转置运算符是单撇号()。2矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)将矩阵A 逆时针 旋转90的k倍，当k为1时可省略。,3矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是 fliplr(A)。,4矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,3.3.1 矩阵的 逆 与 伪逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：AB=BA=I(I为单位矩阵)则称B为A的逆矩阵，记为：A-1 当然，A也是B的逆矩阵
10、。,3.3 矩阵求逆与线性方程组求解,求方阵A的逆矩阵 可调用 函数inv(A)。,矩阵的 伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A 同型的矩阵 B，使得：ABA=ABAB=B此时称矩阵B为矩阵A的 伪逆，也称为广义逆矩阵。,在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。,在线性方程组 Ax=b 两边各左乘A-1，有A-1Ax=A-1b由于 A-1A=I，故得x=A-1b,3.3.2 用矩阵求逆方法求解线性方程组,例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。,命令如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,-2,
11、6;x=inv(A)*b,AX=bx=A-1 b,也可以运用左除运算符“”求解线性代数方程组。,3.4 矩阵求值,3.4.1 方阵的行列式,把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为所对应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。,3.4.2 矩阵的 秩 与 迹,1矩阵的秩矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。,2矩阵的迹矩阵的迹 等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。（证明：高等代数或矩阵论）在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。,3.4.3 向量和矩阵
12、的 范数（矩阵论）矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。,在MATLAB中，求向量范数的函数为：(1)norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2范数。(2)norm(V,1)：计算向量V的1范数。(3)norm(V,inf)：计算向量V的范数。,(1)2-范数,(2)1-范数,(3)-范数,1向量的3种常用范数及其计算函数,2矩阵的范数 及 其计算函数矩阵的范数的定义式 和 计算式 P50,MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。,10-10-1 1.001,X1x2,00.00
13、1,=,10-10-1 1.0015,X1x2,=,00.001,X1=1x2=1,X1=2/3=0.66667x2=2/3=0.66667,3.4.4 矩阵的条件数,线性方程组：AX=b 病态矩阵：良性矩阵：,3.4.4 矩阵的条件数,在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1)cond(A,1)计算A的1范数下的条件数。(2)cond(A)或cond(A,2)计算A的2范数数下的条件数。(3)cond(A,inf)计算A的 范数下的条件数。,矩阵A条件数等于A的范数与A-1的范数之积。即：,矩阵A的特征值和特征向量的含义：,3.5 矩阵的特征值与特征向量,对于方阵A，求数和向量
14、使等式 A=成立。,满足等式的称为A的特征值，而称为A的特征向量。,方程 A=与(A I)=0 等价。,|A I|=0,记：f()=|A I|它是的n阶多项式，称为 A的特征特征多项式。,求 f()=0 的根，就得到A的特征值。,有非0解，则A I不是满秩矩阵。,(1)E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E(2)V,D=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。,(3)V,D=eig(A,nobalance)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。,例3.9 用求
15、特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p);%A的伴随矩阵x1=eig(A)%求A的特征值 x2=roots(p)%直接求多项式p的零点,3.6 矩阵的超越函数,1矩阵平方根sqrtmsqrtm(A)计算矩阵A的平方根。2矩阵指数expmexpm(X)求矩阵指数eX。P68,例4.12,3矩阵对数logmlogm(A)计算矩阵A的自然对数。expm(A)的 反函数。计算过程复杂。4普通矩阵函数funmfunm(A,fun)用来计算直接作用于矩阵A的由fun指定的超越函数值。当fun取sqrt时，funm(A,sqrt)可以计算矩阵A的平方根，与sqrtm(A)的计算结果一样。,
