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1、第二部分 线性代数 第二章 行列式简介,行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计算方法。,用消元法求解，得：,当 时，求得方程组有唯一解：,1 阶行列式的定义,1、二元线性方程组,1.1 n 阶行列式的引出,为了便于记忆，引入二阶行列式,来表示4个数 的一种运算，,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,则二元线性方程组的解为,例1 解二元线性方程组,解 由于,2.三元线性方程组,同理用消元法可求得，当,时，,三元线性方程组有唯一解：,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红
2、线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例2,3.n元线性方程组,构造：,下面提出三个问题：,（1）D=？（怎么算）？,（2）当D0时，方程组是否有唯一解？,（3）若D0时，方程组有唯一解，解的形式是否是,1.2 全排列及其逆序数,1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321,一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；再从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类
3、推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；于是：,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,2.排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,计算排列逆序数的方法:,例3 在19构成
4、的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列.解：由题可知，j、k 的取值范围为3，8 当 j=3、k=8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排列 当 j=8、k=3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列 j=8，k=3,例4 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,4.对换,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的变换叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,1.3 n阶行列式值的定义,定义1.1 设n阶方阵A=（aij)，定义n阶行列式|A|
5、的值为,也可记为:,作出n阶方阵A=（aij)中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号，得到形如的项（称为行列式的一个均布项），其中j1 j2,jn 为自然数1，2，n的一个排列，为这个排列的逆序数。这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和即为n阶行列式的值。,说明：,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是 项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,例5 用行列式的定义计算,解,1.4 几种特殊的行列式,（1）对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,（2）下（上）三角行列式,（3）,其中，,1.二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,小结：,2.排列具有奇偶性.,1.个不同的元素的所有排列种数为,3.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,4.行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,
