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1、第3章 多轴应力下混凝土的本构关系,钢筋混凝土结构中，混凝土几乎不存在单一轴压或轴拉应力状态；梁、板、柱构件，混凝土事实上处于二维或三维应力状态；双向板、墙板、剪力墙和折板、壳体，重大的特殊结构，如核反应堆的压力容器和安全壳、水坝、设备基础、重型水压机等，都是典型的二维和三维结构，其中混凝土的多轴应力状态更是确定无疑；设计时，如采用混凝土单轴压或拉强度，其结果是：过低地给出二轴和三轴抗压强度，造成材料浪费，却又过高地估计多轴拉-压应力状态的强度，埋下不安全的隐患，显然都不合理。,许多国家对混凝土多轴性能的大量系统性试验和理论研究，取得的研究成果有的已经融入相关设计规范。美、英、德、法等国的预应
2、力混凝土压力容器设计规程、俄国和日本的水工结构设计规范，以及模式规范CEB-FIP MC90等都有明确的条款，规定了混凝土多轴强度和本构关系的计算公式（或图、表）。这些成果应用于工程实践中，取得了很好的技术经济效益。自上世纪60年代，我国一些高校和研究院相继开展了混凝土多轴性能的试验和理论研究，取得了相应成果，为在混凝土结构设计规范GB-50010-2002 中首次列入多轴强度和本构关系奠定了坚实的基础。,另外，计算机的发展应用，有限元分析方法渐趋成熟，为准确地分析复杂结构提供了强有力的理论和运算手段，研究合理、准确的混凝土破坏准则和本构关系已成为可能。电子量测和控制技术的进步，为建造复杂的混
3、凝土多轴试验设备和改进量测技术提供了条件。混凝土的材料性质复杂多变，其多轴强度和变形又随三轴应力状态的不同而有很大差异。至今还没有，以后也难以找到一种准确的理论方法，可以从混凝土原材料的性质、组成和制备工艺等原始条件推算其多轴力学性能。因而，最现实和合理的办法是创建混凝土多轴试验设备、制作试件直接进行试验测定。,3.1试验设备和方法,所有的混凝土多轴试验装置，按试件的应力状态分为两大类：1、常规三轴试验机 一般利用已有的大型材料试验机，配备一个带活塞的高压油缸和独立的油泵、油路系统。试验时将试件置于油缸内的活塞之下，试件的横向由油泵施加液压，纵向由试验机通过活塞加压。试件在加载前外包橡胶薄膜，
4、防止高压油进入试件裂缝，胀裂试件，降低其强度。,试验采用圆柱体或棱柱体试件，当试件三轴受压（C/C/C）时，必有两方向应力相等，称为常规三轴受压，以区别真三轴受压试验。如果采用空心圆筒试件，在筒外或筒内施加侧压，还可进行二轴受压(C/C)或拉压(T/C)试验。,2、真三轴试验装置 试验装置的构造见图。,试验中：试件挤在一角，变形增大时试件受到不对称应力增大。因为轴是互相固定死的，变形得不到互相补偿。这种机械设备限制在试件中产生强制应力，实测破坏荷载并不能真实代表试件的破坏荷载。,三轴分离试验装置：由三个独立的互不相连的机架组成，在水平方向的两个机架，一个用缆绳悬挂起来，另一个放置在滚动轴承上。
5、垂直机架用平衡重物悬挂起来，能适应试件在水平方向和垂直方向上受应力而产生的变形。,共同特点是：在3个相互垂直的方向都设有独立的活塞、液压缸、供油管路和控制系统。但主要机械构造差异很大，有的在3个方向分设丝杠和横梁等组成的加载架，有的则利用试验机施加纵向应力，横向（水平）的两对活塞和油缸置于一刚性承载框内，以减小设备占用空间，方便试验。,在复杂结构中，混凝土的三向主应力不等，且可能是有拉有压。显然，试验装置应能在3个方向施加任意的拉、压应力和不同的应力比例（1：2：3）。70年代后研制的试验装置大部分属此类。真三轴试验装置的最大加载能力为压力：3000 kN/2000 kN/2000 kN拉力为
6、：200kN/200kN 混凝土试件一般为边长50150 mm的立方体。进行二轴应力状态试验时也可采用板式试件，最大尺寸为200 mm 200 mm 50 mm。真三轴试验装置需要自行设计和研制，且无统一的试验标准可依循，还有些复杂的试验技术问题需解决，造价和试验费用都比较高。但是为了获得混凝土的真三轴性能，却又缺之不可。,在设计混凝土的三轴试验方法和试验装置时，有些试验技术问题需要研究解决，否则影响试验结果的可靠性和准确性，决定三轴试验的成败。主要的技术难点和其解决措施有：,1、消减试件表面的摩擦 混凝土立方体试件的标准抗压试验中，只施加单向压力，由于钢压板对试件端面的横向摩擦约束，提高了混
7、凝土的试验强度。在多轴受压试验时，如不采取措施消除或减小此摩擦作用，各承压端面的约束相互强化，可使混凝土的试验强度成倍地增长，试验结果不真实，毫无实际价值。混凝土多轴试验中，行之有效的减摩措施有4类：在试件和加压板之间设置减摩垫层；刷形加载板；柔性加载板；金属箔液压垫。后三类措施取得较好的试验数据，但其附件的构造复杂，加工困难，造价高，且减摩效果也不尽理想。至今应用最多的还是各种材料和构造的减摩垫层，例如两片聚四氟乙烯（厚2 mm）间加二硫化钼油膏，三层铝箔（厚0.2 mm）中间加二硫化钼油膏，分小块的不锈钢垫板等。,2、施加拉力 对试件施加拉力，须有高强粘结胶把试件和加载板牢固地粘结在一起。
8、此外，试件在浇注和振捣过程中形成含有气孔和水泥砂浆较多的表层（厚约24 mm），抗拉强度偏低，故用作受拉试验的试件先要制作尺寸较大的混凝土试块，后用切割机锯除表层5 mm后制成。3、应力和应变的量测 混凝土多轴试验时，试件表面有加载板阻挡，周围的空间很小，成为应变量测的难点。试验中一般采用两类方法：直接量测法，在试件表面上预留浅槽（深23 mm）内粘贴电阻应变片，并用水泥砂浆填满抹平；或者在打磨过的试件棱边上粘贴电阻片（影响试件性能，应变片可能被破坏）；间接量测法，使用电阻式或电感式变形传感器量测试件同方向两块加载板的相对位移，扣除事先标定的减摩垫层的相应变形后，计算试件应变。前者较准确，但量
9、程有限，适用于二轴试验和三轴拉压试验；后者的构造较复杂，但量程大，适用于三轴受压试验。,4、应力（变）途径的控制 实际结构中一点的三向主应力值，随荷载的变化可有不同的应力途径。已有的大部分三轴试验是等比例（1:2:3=const）单调加载、直到试件破坏。应力比例由电-液控制系统实现，一般设备都具备这一功能。有些设备还可进行多种应力（变）途径的试验，例如三向应力变比例加载、恒侧压加载、反复加卸载、应变或应变速度控制加载等。需要指出，应用三轴试验装置也可以进行混凝土的单轴受压和受拉试验，得到相应的强度值和应力-应变曲线。但是这些试验结果与用标准试验方法得到的不完全一致，有些甚至相差较大。这是因为两
10、者的试验加载设备、试件的形状和尺寸、量测精度、承压面的摩擦约束等条件都不相同。在分析混凝土的多轴性能时，一般取可比性强的前者作为对比标准。,5、试件的尺寸，即加载的空间很小（一般为50100mm），而承载力很大（10003000kN），要求有较大而刚性的加载油缸和活塞）和承力（横梁和拉杆）机构，造成构造上的困难；6、试件受力后的变形过程中，要求三个方向施加的力始终保持居中，不产生偏心作用；,3.2破坏准则破坏包络面的形状及其表达,在主应力空间坐标系（1,2,3）中，将试验中获得的混凝土多轴强度（f1，f2，f3）的数据，逐个地标在主应力坐标空间，相邻各点以光滑曲面相连，可得混凝土的破坏包络曲面
11、。破坏包络曲面与坐标平面的交线，即混凝土的二轴破坏包络线。,坐标轴的顺序按右手螺旋法则规定,在主应力空间中，与各坐标轴保持等距的各点连结成为静水压力轴（即各点应力状态均满足：1=2=3）。此轴必通过坐标原点，且与各坐标轴的夹角相等，均为,静水压力轴上一点与坐标原点的距离称为静水压力（）；其值为3个主应力在静水压力轴上的投影之和，故：,静水压力轴,垂直于静水压力轴的平面为偏平面。3个主应力轴在偏平面上的投影各成120o角。同一偏平面上的每一点的3个主应力之和为一常数：I1为应力张量ij的第一不变量,偏平面与破坏包络曲面的交线成为偏平面包络线。不同静水压力下的偏平面包络线构成一族封闭曲线。,偏平面
12、包络线为三折对称，有夹角60o范围内的曲线段，和直线段一起共同构成全包络线。取主应力轴正方向处为=0o，负方向处为=60o，其余各处为0o60o。在偏平面上，包络线上一点至静水压力轴的距离称为偏应力 r。偏应力在=0o处最小(rt），随角逐渐增大，至=60o处为最大(rc），故rt rc。,一些特殊应力状态的混凝土强度点，在破坏包络面上占有特定的位置。从工程观点，混凝土沿各个方向的力学性能可看作相同，即立方体试件的多轴强度只取决于应力比例 1：2：3，而与各应力的作用方向X、Y、Z无关。例如：混凝土的单轴抗压强度 fc 和抗拉强度 ft 不论作用在哪一个方向，都有相等的强度值。在包络面各有3个
13、点，分别位于3个坐标轴的负、正方向；,同理，混凝土的二轴等压（1=0，f2=f3=fcc）和等拉（3=0，f1=f2=ftt）强度位于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，3个坐标面内各有一点；混凝土的三轴等拉强度（fl=f2=f3=fttt)只有一点且落在静水压力轴的正方向。对于任意应力比(flf2f3)的三轴受压、受拉或拉压应力状态，从工程观点考虑混凝土的各向同性，可由坐标或主应力(fl，f2，f3)值的轮换（破坏横截面三重对称），在应力空间中各画出6个点，位于同一偏平面上，且夹角值相等。,破坏包络曲面的三维立体图既不便绘制，又不适于理解和应用，常改用拉压子午面和偏平面上的平面图形来表示。拉压
14、子午面为静水压力轴与任一主应力轴（如图中的3轴）组成的平面，同时通过另两个主应力轴（1，2）的等分线。此平面与破坏包络面的交线，分别称为拉、压子午线。,1、拉子午线的应力条件为1 2=3，线上特征强度点有单轴受拉(ft,0,0)和二轴等压(0,-fcc,-fcc）在偏平面上的夹角为=0o;2、压子午线的应力条件则为1=2 3，线上有单轴受压(0,0,-fc)和二轴等拉(ftt,ftt,0)，在偏平面上的夹角=60o。3、拉、压子午线与静水压力轴同交于一点，即三轴等拉(fttt,fttt,fttt)。拉、压子午线至静水压力轴的垂直距离即为偏应力 rt 和 rc。,=0o,=60o,拉压子午线的命
15、名，并非指应力状态的拉或压，而是相应于三轴试验过程。若试件先施加静水应力1=2=3，后在一轴1上施加拉力，得1 2=3，称拉子午线；若试件先施加静水应力1=2=3，后在另一轴3上施加压力，得1=2 3，称压子午线。,另外也可以理解为以单轴拉、压条件定义拉、压子午线，即单轴拉状态所在的子午线成为拉子午线，而单轴压状态所在的子午线成为压子午线。试验研究指出，混凝土的三维破坏面也可用三维主应力空间破坏曲面的圆柱坐标，r，来描述，其本身也是应力不变量。,=0o,=60o,圆柱坐标系及主应力空间应力分解,，r，的几何表示,等应力轴和一个主应力轴组成的平面通过另两个主应力轴的等分线,转换过程归纳,P,将O
16、A分解为等倾轴上的分量OB和垂直于等倾轴的分量OC，则,方向与OC一致而模的长度为1的向量为,OP在平面上的投影等于NP在平面上的投影，矢量NP的分量为s1,s2,s3两向量间的夹角可由向量的点积求得,将以上图形绕坐标原点逆时针方向旋转一角度(90o)，得到以静水压力轴()为横坐标、偏应力(r)为纵坐标的拉、压子午线。,于是，空间的破坏包络面改为由子午面和偏平面上的包络曲线来表达。破坏面上任一点的直角坐标(fl，f2，f3)改为由圆柱坐标(,r,)来表示，换算关系为：,由上式可知，将上图的坐标缩小 可以用八面体正应力（oct）和剪应力（oct）坐标代替静水压力和偏应力坐标，得到相应的拉、压子午
17、线和破坏包络线。,根据试验结果绘制的拉、压子午线和偏平面包络线。,子午线按照偏平面夹角划分，试验点的=3060o 分别列在横坐标轴的上、下。,试验时测试=0o60o的扇形（其他的扇形是对称的）,偏平面包络线则以八面体应力值分段给出。图中曲线为混凝土破坏准则的理论值。,根据国内外混凝土多轴强度的大量试验资料分析，破坏包络曲面的几何形状具有如下特征：曲面连续、光滑、外凸；对静水压力轴三折对称，当应力状态为静水应力与单向拉应力叠加时，=0o，故=0o的子午线称为受拉子午线。如将单向拉应力换为压应力，则相应于受压子午线，=60o。,破坏曲线与等应力轴有关。在轴的正向，静水压力轴的拉端封闭，顶点为三轴等
18、拉应力状态；在轴的负向，压端开口，不与静水压力轴相交，破坏曲线的开口随轴绝对值的增大而增大；,子午线上各点的偏应力或八面体剪应力值，随静水压力或八面体正应力的代数值的减小而单调增大，但斜率渐减，有极限值；,偏平面上的封闭曲线三折对称，其形状随静水压力或八面体正应力值的减小，由近似三角形(rtrc0.5)逐渐外凸饱满，过渡为一圆(rtrc=1）。,破坏准则,将混凝土的破坏包络曲面用数学函数加以描述，作为判定混凝土是否达到破坏状态或极限强度的条件，称为破坏准则或强度准则。虽然它不属基于机理分析、具有明确物理概念的强度理论，但它是大量试验结果的总结，具有足够的计算准确性，对实际工程有重要的指导意义。
19、1、分类：借用古典强度理论的观点和计算式;以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式；以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导式，参数值由若干特征强度值标定。各个准则的表达方式和简繁程度各异，适用范围和计算精度差别大，使用时应认真选择。,2、著名的古典强度理论包括：最大主拉应力理论（Rankine)；最大主拉应变理论（Mariotto）；最大剪应力理论(Tresca)；统计平均剪应力理论（Von Mises)；Mohr-Coulomb理论；Drucker-Prager理论。共同特点：针对某种特定材料而提出，对于解释材料破坏的内在原因和规律有明确的理论（物理）观点，有相应的试验验证，破坏包络面
20、的几何形状简单，计算式简明，只含1个或2个参数，其值易于标定。因而，它们应用于相适应的材料时，可在工程实践中取得良好的效果。例如.Von Mises准则适用于塑性材料（如软钢），在金属的塑性力学中应用最广；Mohr-Coulomb准则反映了材料抗拉和抗压强度不等（ftfc）的特点，适用于脆性的土壤、岩石类材料，在岩土力学中广为应用。,3、以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式 随试验数据的积累，许多研究人员提出了若干基于试验结果、较为准确、但数学形式复杂的混凝土破坏准则。准则中一般需要包含45个参数。,这些破坏准则的原始表达式中采用了不同的应力量作为变量，分5种：主应力fl,f2,f3;应
21、力不变量Il,J2,J3;静水压力和偏应力,r,;八面体应力 oct,oct;平均应力m,m。采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不便作深入对比分析。但这些应力量借助下列基本公式可以很方便地互相变换：,采用上述应力量致使准则的数学形式差别很大，不便作深人对比分析。但这些应力量借助下列基本公式可以很方便地互相变换：,最终可统一用相对八面体强度（0=oct/fc和0=oct/fc）表达，经归纳得子午线方程的3种基本形式：,最终可统一用相对八面体强度（0=oct/fc和0=oct/fc）表达，经归纳得子午线方程的3种基本形式：,一些常用的、有代表性的混凝土破坏准则列于下表,同时给出了原始表达式
22、和统一表达式，可看到两者中参数的互换关系。,过镇海、王传志、张秀琴等搜集了国内外大量的混凝士多轴强度试验数据，与按上述准则计算的理论值进行全面比较，根据三项标准：计算值与试验强度的相符程度；适用的应力范围宽窄；理论破坏包络面几何特征的合理性等加以评定。所得结论为：较好的准则：过王、Ottosen和Podgorski准则；一般的准则：Hsieh-Ting-Chen，Kotsovos，Willam-Warnke准则；较差准则：Bresler-Pister准则。在结构的有限元分析中，可根据结构的应力范围和准确度要求选用合理的混凝土破坏准则。,4、以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导公式 模式规
23、范CEB FIP MC90C采纳了Ottosen准则。它根据偏平面包络线由三角形过渡为圆形的特点、应用薄膜比拟法：即在等边三角形边框上蒙上一薄膜，承受均匀压力后薄膜鼓起，等高线的形状由外向内的变化恰好相同据此建立了二阶偏微分方程，求解后转换得到以应力不变量表达的破坏准则式：,其中：a和b决定子午线的形状，k1和k2分别决定偏平面包络线的大小和形状。标定参数值的4个特征强度值取为：单轴抗压(-fc)、单轴抗拉(ft）、二轴等压(fcc=1.16 fc)三轴抗压强度,三轴抗压强度按下式计算各特征强度的,代入,得4阶联立方程，解得各参数值。若取ft=0.1fc，解得的4个参数为：a=1.2759,b
24、=3.1962 k111.7365，k2=0.9801Hsieh-Ting-Chen和Podgorski准则是对Ottosen准则的简化和修正。,我国的混凝土结构设计规范附录C.4中采纳了过王准则，其与试验结果相符较好、以八面体应力无量纲量表达、应用幕函数拟合混凝土的破坏包络面，一般计算式为:,、规范中的破坏准则 破坏准则的计算公式,式中5个参数都有明确的几何（物理）意义：,当 a=0,max时，0时0有极限值（高压应力状态），即,参数b，当oct/fc=0时，b=oct/fc即包络面或子午线与静水压力轴交点的坐标；故b值为混凝土三轴等拉强度（f1=f2=f3=fttt）与单轴抗压强度的比值,
25、符合破坏曲面包络线随oct的增大由近似三角形趋向圆柱面过渡的特性；即，此时，拉、压子午线与静水压力轴平行切等距（rc=rt），偏平面上包络线为一半径a的圆，破坏包络面趋于圆柱形。,0d1.0时，,=0o时c=ct，=60o时。c=cc，代人上式分别得拉、压子午线，即为拉、压子午线对应的剪切强度。当=0o增加到60o时，ct逐渐增加至cc，符合光滑、外凸的特性；,其导数在 oct/fc=b处的数值为，即切线垂直于横坐标，拉、压子午线在此处连续，破坏包络面顶点处连续、光滑；,另外，由于该破坏准则是根据包括整个应力空间8个象限的各种应力状态的上千个试验点建立起来的，所以它不仅在中、高静水压力区域实验
26、值符合较好，而且在拉区乃至三向等拉状态也能较好地反映实际受力情况。该准则适用于平面应力、平面应变、三向受压、三向受拉、乃至三向拉压等多种应力状态，且计算简单，便于工程设计和非线性分析应用。,计算参数值的确定,混凝土破坏准则中包含的5个参数，可以用全部试验数据进行回归分析拟定，也可在破坏包络面上，或拉、压子午线上选定任意5个特征强度值加以标定。前者计算工作量大，一般取用后者。,单轴抗压和抗拉强度是混凝土的基本强度指标，应作为首选的二个特征强度值。其余3个特征强度可以选用：包络面顶端，即拉压子午线交点处的三轴等拉强度；试验数量较多的二轴等压强度；和一个强度较高的常规三轴抗压强度(0 f1=f2 f
27、3，=60o）。这样使拉、压子午线上各有3个控制点，可以较好地拟合试验结果。,将这5个特征值的应力状态分别代入式,计算,并代人破坏准则计算式，,可得5个联立方程如下：,从这些方程求解5个参数值，难有显式解，可采用迭代法进行数值计算：,由式直接得：,其中：,由其余4式消去参数a，有：,由式,得参数 d 的计算式：,由式,取,得,由式,取,得,最后由式中任意一式计算参数a，取式得：,在设定了5个特征强度值后、即S60、T60、S0、T0等值已知，可应用这些方程进行迭代计算，以确定混凝土破坏准则的5个参数值。其步骤如下：,计算参数b；,设定n（1）的初始值，如n0=0.98；,代入,计算参数d；,由
28、式,代入,计算K1和K2；,由式,计算参数cc和ct；,代入,得n的第一次近似值n1，计算误差，,若不满足精度要求（取0.0001），则按步骤继续迭代计算；,代入,计算参数a。,确定这5个参数采用的混凝土特征强度值为：单轴抗压（-fc)；单轴抗拉(ft=0.1 fc，F=0.1）；二轴等压(fcc=1.28 fc，S0=-0.8533，T0=0.6034）；三轴等拉(fttt=0.9 ft，=0.9）；三轴抗压强度（=60o，S60=oct/fc=4，T60=oct/fc=2.7）。分别代入上式，用迭代法计算的参数值：a6.9638 b=0.09 d=0.9297 ct12.2445 cc7.
29、3319,按此公式可计算各种应力状态下的混凝土多轴强度理论值，并绘制子午线和偏平面包络线，以及二轴和三轴包络线。按此准则计算的混凝土多轴强度值与国内外的试验结果比较吻合。,将所得参数值代入基本方程，即得混凝土的破坏准则公式：,需要说明，选用的上述5个特征强度值，是分析了国内外众多研究者的试验结果而确定的，与此相应的混凝土破坏准则（上两式）可适用于各种试验条件和全部多轴应力范围，总体计算准确度较高。如果针对某一种特定的混凝土材料，或者在有限的应力比或静水压力范围（如二轴应力状态）内，为了得到更准确的破坏准则，可以通过试验测定，或参照已有试脸资料另行设定5个特征强度值，用上述迭代法计算参数值，得相
30、应的破坏准则计算式。,多轴强度验算举例,二维和三维结构在线弹性或非线性分析后获得了混凝土的多轴应力状态，可按多轴强度设计值进行验算（如4.5所述），也可采用破坏准则进行验算，通常将混凝土的破坏准则编成程序，附在结构分析之后，由计算机完成混凝土的应力分析和多轴强度验算。下面列举几个手算例题，说明具体的计算方法和步骤，有助于对混凝土破坏准则的理解。,例1 混凝土三向受压，应力比为1:2:3-0.15:-0.3:-1，用上述破坏准则计算相应的多轴强度值。,解：设三轴抗压强度为：,另二个方向分别为：,其中 x 为待定值。,计算无量纲的八面体正、剪应力和偏平面夹角：,代入,由准则：,建立,为一超越方程，
31、解此超越方程得：x=4.48,混凝土的三轴抗压强度为：,试验结果表明，上述比例下的混凝土三轴抗压强度约为：,与计算值接近。,另一方面，若按混凝土规范三轴抗压强度设计值进行验算，相同应力比例下的三轴抗压强度仅为：,比按前述破坏准则的计算值低很多。其主要原因是：给定的多轴压强度设计值有意比试验值偏低；未考虑第2主应力2的有利作用。,例2 一钢筋混凝土平面结构，在荷载设计值作用下，按线弹性分析得最不利位置处的主应力为（5、16N/mm2），试确定混凝土的强度等级。用混凝土破坏准则进行计算。,解：该处混凝土的应力状态写成三轴应力形式：,设三轴抗压强度为：,相应有：,计算破坏准则的各项指标和参数值：,代
32、入,由准则：,为一超越方程，解此超越方程得：x=1.37,此强度值大于按下图所给的混凝土多轴抗压强度设计值。,试选C30混凝土，其单轴抗压强度设计值为fc=14.3N/mm2，故,若该选C25混凝土，其单轴抗压强度设计值为fc=11.9N/mm2，,也可满足承载能力要求，,例3 若混凝土三方向的应力比为：（+0.1:+0.06:1）和（+0.04:0.5:1），确定相应的三轴拉-压强度。用混凝土破坏准则进行计算。,解：三轴拉-拉-压应力状态的应力比为：,设三轴抗压强度为：,代入相应计算公式：,由准则得：,解此超越方程得：x=0.571,三轴拉压强度分别为：,解：三轴拉-拉-压应力状态的应力比为
33、：,设三轴抗压强度为：,代入相应计算公式：,由准则得：,解此超越方程得：x=1.044,三轴拉压强度分别为：,按混凝土破坏准则计算的这些应力比例下的三轴拉-压强度，与按二轴拉-压强度设计值计算的结果接近，二者相差不到10%。,3.3本构关系,本构关系的概念,一切结构的力学分析，例如杆系结构的内力和变形分析，二、三维结构的应力和变形分析，以及构件的截面承载力和正常使用阶段性能的分析等，都必须使用和满足三类基本方程，即：力学平衡方程；变形协调条件；本构关系。力学平衡方程，无论是结构的整体或局部、静力或动力荷载的作用、分析的准确解或近似解都必须满足，这是混凝土结构进行结构分析最基本的条件。变形协调条
34、件，是几何或机动方程。结构是连续体，在荷载作用下会发生变形和位移，但仍应为连续体。几个部分的变形应该是协调的，在边界、支座、节点等处仍能互相吻合，这就是满足变形协调条件。但有时为对结构计算简图作某些简化，,本构关系则是联系前二者，即力和变形间的物理方程，例如材料的应力-应变（-、-）或构件截面的弯矩-曲率、轴力-伸长（缩短）、扭矩-转角等，之间的关系，统称为本构关系。各种材料的、不同形式和体系的结构，在力学分析时所用的前二类方程原则相同、数学形式相近，而本构关系可有很大差别。例如，本构关系有弹性的、塑性的，还有与时间相关的黏弹性、黏塑性的，与温度相关的热弹性、热塑性等。每一种特定的本构关系都可
35、发展成为一个相对独立的力学分支，如弹性力学、塑性力学、黏弹（塑）性力学，热弹（塑）性力学等。近期发展的断裂力学、损伤力学等，也各有相应的本构关系。由于本构关系的不同，这些力学分支各有独特的分析思路和求解方法，并获得相应的计算结果。,分析计算作了某些假定，造成难以完全满足各单元之间的变形协调，特别是难以满足边界约束条件。因此，也不一定要求从微观上严格满足变形协调，但在宏观上，即整体上，仍能满足变形协调条件，使结构分析的结果与实际情况不致有较大的出入。,钢筋混凝土是一种特殊的组合结构材料。除了钢筋（材）和混凝土本身的材料本构关系因所用材料的品种和强度等级而不同外，还因二者的配合和相对比例、如面积比
36、、强度比、弹性模量比、等的变化，而又有更复杂的组合本构关系，如平均应力-应变、截面弯矩-平均曲率、等。将这些钢筋混凝土的特殊本构关系引入结构的非线性分析，完全有理由称之为钢筋混凝土力学。事实上，这已是混凝土结构和构件分析的重要发展方向。,混凝土在简单应力状态下的本构关系，即单轴受压和受拉时的应力-应变关系比较明确，可以相当准确地在相应的试验中测定，并用合理的经验回归式加以描述。即使如此，仍然因为混凝土材性的离散、变形成分的多样和影响因素的众多等而在一定范围内变动。,混凝土在多轴应力状态下的本构关系，当然更要复杂得多。3个方向主应力的共同作用，使各方向的正应变和横向变形效应相互约束和牵制，影响内
37、部微裂缝的出现和发展程度。而且，混凝土多轴抗压强度的成倍增长和多轴拉压强度的降低，扩大了混凝土的应力值范围，改变了各部分变形成分的比例，出现了不同的破坏过程和形态。这些都使得混凝土多轴变形的变化范围大，形式复杂。另一方面，混凝土多轴试验方法的不统一和应变量测技术的困难，又加大了应变量测数据的离散度，给研究本构关系造成更大困难。,有限元方法和计算机技术的发展为混凝土结构和构件的非线性分析创建了便利条件。任何类型、体系和受力状况的结构或其局部都可依靠非线性分析方法求解。但是，计算结果的可靠性和准确度主要取决于所采用的钢筋混凝土各项非线性本构关系是否准确、合理。因此，建立或选择本构关系是结构非线性分
38、析的关键问题，成为近20年混凝土结构的一个重要研究方向。确定了合适的本构关系、进行非线性的全过程分析，有可能改变目前的钢筋混凝土结构的内力弹性分析和截面承载力经验性计算等不尽理想的景况，走向更完善、准确的理论解方向。,非线性分析中的各种本构关系,结构分析时，无论采用解析法和有限元法都要将整体结构离散化、分解成各种计算单元。例如二、三维结构的解析法取为二维或三维应力状态的点（微体），有限元法取为形状和尺寸不同的块体；杆系结构可取为各杆件的截面、或其一段、或全长；结构整体分析可取其局部，如高层建筑的一层作为基本计算单元。因此，本构关系可建立在结构的不同层次和分析尺度上当然最基本的是材料一点的应力-
39、应变关系，由此决定或推导其他各种本构关系。,各种计算单元的本构关系一般是以标准条件下，即常温下短时一次加载试验的测定值为基础确定的。当结构的环境和受力条件有变化时，如反复加卸载、动载、荷载长期作用或高速冲击作用、高温或低温状况、等，混凝土的性能和本构关系随之有不同程度的变化、必须进行相应修正，甚至重新建立专门的本构关系。,所以，钢筋混凝土非线性本构关系的内容非常丰富，试验和理论研究也有一定难度。经过各国研究人员的多年努力，本构关系的研究已在宽广的领域内取得了大量成果，其中比较重要和常用的本构关系有：,混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；,混凝土的多轴强度（破坏准则）和应力-应变关系；,多种环
40、境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括受压卸载和再加载，压拉反复加卸载，多次重复荷载（疲劳），快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（l00oC）和低温0oC）状况下的加卸载，；,与时间有关的混凝土受力性能，如定应力或变应力作用下的徐变（松弛）、收缩、；,钢材（筋）的应力-应变关系，和反复应力作用的Bauschinger效应；,钢筋和混凝土界面的粘结应力-相对滑移（-s）关系，包括单调和反复荷载作用；混凝土受拉开裂后，沿裂缝面有骨料咬合作用；与裂缝相交的钢筋，纵向有受拉刚化效应，横向有销栓作用；横向约束混凝土，包括螺旋箍筋、矩形箍筋和钢管混凝土等的应力-应变关系；构件（截面）在单调荷载作用下
41、的弯矩-曲率关系，在（地震）反复荷载作用下的弯矩-曲率恢复力模型；二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系，如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界面的联结单元模型，；。,确定本构关系（模型）的方法,结构分析中所需的某种计算单元的本构关系，研究人员可通过试验的、理论的、或半经验半理论的方法，建立多种具体的本构模型。例如，混凝土的多轴本构（应力-应变）关系可分作线弹性、非线（性）弹性、塑性理论或其他力学理论为及其础的多种模型。其中较实用的非线（性）弹性模型，又细分为各向同性、正交异性和各向异性类，同一类中又有数种不同的具体数学模型。同一种本构关系出现多种不同的具体模型，且形式有繁有简，
42、或精或粗，相差悬殊，其计算结果也不尽相同。这种情况既因为混凝土材性的复杂多变和离散性较大，也反映了研究者学术观点和研究方法的不同。许多模型各有利弊和适用范围，难以求得统一。因此，在设计和分析结构时应选择合理和适用的本构模型。,确定本构模型有三种方法：用与工程结构相同的混凝土材料，专门制作足量的试件、通过试验测定和分析后确定；选定适合该结构的合理本构模型形式，其数学表达式中所需的参数值由少量试验加以标定；采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学）模型。为了保证本构关系的可靠性，上述方法按优选次序排列。由于混凝土大量地采用地方性材料，施工制作工艺和质量控制水平出入较大，使混凝土的实际力学
43、性能有较大的变异性和离散度。结构分析所需的各项本构关系应根据建筑物的重要性、结构体系的类型、要求的计算精度、实际施工水平，和具备的试验条件等慎重地加以选择。,在结构设计计算和有限元分析中须引入混凝土的多轴本构关系，许多学者进行了大量的试验和理论研究，提出了多种多样的混凝土本构模型。根据这些模型对混凝土材料力学性能特征的概括，分成4大类：线弹性模型；(弹性模型)非线（性）弹性模型；(弹性模型)塑性理论模型；(非弹性模型)其它力学理论类模型。(非弹性模型)各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样，简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个通用的混凝土本构模型，只能根据结构的
44、特点、应力范围和精度要求等加以适当选择。至今，实际工程中应用最广泛的还是源自试验、计算精度有保证、形式简明和使用方便的非线弹性类本构模型。,本构关系（模型）的分类,线弹性本构关系,这是最简单、最基本的材料本构关系。它假设材料的各方向应力与相应应变符合线性比例关系，加载和卸载沿同一直线往返变化，完全卸载后无残余应变如图。,因而应力和应变有确定的唯一关系，其比值称弹性常数，或弹性模量。考虑材料各方向性能的异同，可分别建立各向异性的、正交异性的或各向同性的线弹性本构模型。,1、各向同性本构模型,结构中的任何一点，共有6个独立的应力分量：即正应力11、22、33 剪应力12=21、23=32、31=1
45、3。相应地也有6个应变分量：为正应变11、22、33剪应变12=21、23=32、31=13,假设材料的各方向同性、有相等的弹性常数，即可建立正应力-正应变和剪应力-剪应变之间的关系如下：,这就是众所熟知的广义虎克定律。其中包含了3个弹性常数：E 弹性模量（N/mm2）；横向变形系数、即泊松比；G 剪切模量（N/mm2）。且由于,独立的弹性常数只有2个，一般以E和表示。,将式（1）合并,将式（1）合并后求逆，即得刚度矩阵表示的应力-应变关系式：,这就是各向同性材料的线弹性本构模型。对于任一种材料，只需测 定或给定其弹性模量E和泊松比，即可确定其全部本构关系。,各向同性的线弹性本构模型，是迄今发
46、展最成熟，应用最广泛的材料本构模型。经典的弹性力学就是以此模型作为物理基础，对许多二维、三维结构，包括扳、壳结构等的分析给出了准确的解析解。现今，分析二维和三维结构最常用的有限元方法，也以此本构模型为基础推导基本公式，并编制成多种通用的或专用的结构分析程序，例如ANSYS、SAP、ADINA等，已在实际工程中广为应用，卓有成效。,2、各向异性和正交异性本构模型,如果考虑一点的6个应力分量和6个应变分量之间的弹性常数都不相同，即可建立最一般性材料的各向异性本构关系：,式中 Kii,ii正应力ii和正应变ii间的刚度系数，即弹性模量；Gij,ij剪应力ij和剪应变ij间的刚度系数，即剪切模量；Yi
47、i,ij正应力ii和剪应变ii间的刚度系数；Hij,ii剪应力ij和正应变ii间的刚度系数。Y和H合称为耦合刚度系数（模量）,上式中可见，各向异性材料的本构模型中共包含了66=36个弹性常数（模量），数值可能各不相同，需要通过相应的材料试验分别地加以测定。上面以刚度矩阵表达的各向异性本构关系（4）式，求逆后可用柔度矩阵表达。柔度矩阵中同样有36个材料的弹性常致，每一个元素都是正（剪）应变和正（剪）应力对应的柔度系数。,实际工程中的结构材料都没有如此复杂的力学性能，因而本构关系可作简化。最典型的是正交异性材料，其力学性能的主要特点为：三个方向各有不同的弹性常数（弹性模量和泊松比），但正应力的作用
48、不产生剪应变（Y=），剪应力的作用也不产生正应变（H=），且不对其他平面产生剪应变。例如，处于三轴应力状态的混凝土，各方向的正应力值不等，又有拉压之分，应有不等的弹性常数值。,依据正交异性材料的特点，可将各向异性材料的 6 阶本构方程组（4）解耦，降为二个3阶方程组，分别建立正应力-正应变的本构关系如下：,式（5）中的刚度矩阵对称，独立的弹性常数只有6个，加上式（6）中的3个常数，故正交异性材料的独立弹性常数共为9个。,若将弹性常数用工程界熟悉的E、和G表示，正交异性材料的本构关系可改写成简明的柔度矩阵形式：,剪应力-剪应变的本构关系如下：,式中 E1、E2、E3 3个相互垂直方向的弹性模量；
49、G12、G23、G31 3个相互垂直方向的剪切模量；12、应力22对方向1的横向变形系数（泊松比），其余类推。由于式（7）中柔度矩阵的对称性，可得3个附加方程：,故本构关系中同样是9个独立的弹性常数。式（7）和式（8）分别求逆后，即可得式（5）和式（6）中的刚度矩阵和相应的元素。,非线弹性本构关系,混凝土当然不是线弹性材料，上述线弹性本构关系用于分析混凝土结构时，其适用范围和计算精度显然都受限制，因而建立和发展了非线（性）弹性类本构关系。这类本构关系的主要特点是反映了材料（混凝土）应变随着应力的增大而非线性地增长的基本规律。同时，为了简化计算又假设卸载时应变沿加载线返回，全部卸载后不留残余应变
50、，如图，应力与应变有惟一对应关系，因而材料又是弹性的。,应力-应变曲线的具体形状和计算式，一般都根据混凝土的单轴和多轴应力状态的试验结果加以标定，或者采用经验公式进行回归拟合。,非线（性）弹性本构关系的显而易见的优点是：突出了混凝土非线性变形的主要特点，计算式直接由试验数据确定，因而在一次单调比例加载情况下有较高的计算精度。简化了卸载途径，便于分析和减少计算量；可利用线弹性本构关系的已有分析和计算程序；与其他（非弹性）类本构关系相比，其概念、形式和应用都更简单；数学表达式简明、直观，易被工程师们接受和应用，因而在至今的工程实践中应用最广。,其主要缺点是不能反映混凝土更复杂的性能，如卸载和加载曲
