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1、第十章,曲线回归,本章介绍可以直线化的曲线回归的类型，以生长型曲线为例说明曲线的直线化配合，曲线回归方程的拟合度,第一节 曲线回归的意义,直线回归的局限1、两变量之间的关系不完全是直线关系2、简单相关不显著并不表示两变量间无相关3、两变量间更普遍的关系是曲线关系4、直线回归仅是曲线回归的一种特殊形式5、直线回归是曲线回归中的一部分,曲线配合的一般步骤：1、确定回归关系的类型：线性 非线性（曲线形状）2、确定回归关系的参数、相关指数、估计标准误3、对所得回归方程作显著性检验曲线方程可分为两种：可直线化的曲线方程 不可直线化的曲线方程（多项式）因此，首先应确定两变量的曲线关系是哪一种,第二节 曲线
2、类型及其方程,本章仅讨论可以直线化的曲线方程 函数型曲线方程（一）幂函数直线化：两边取对数：令：则有：对 求 A 和 b，并得 即可得：a、b，建立方程（双对数转换，即对 x、y 均求对数后输入）,（二）指数函数 或直线化：两边取对数：令：则有对 求A并得即可得 a、b，建立方程（单对数变换，即对 y 求对数后与 x 一起输入）,（三）双曲线函数令：则对 x 求 X即可得 中的 a、b（倒数变换，即取 x 的倒数，与 y 一起输入）此外还有一些曲线方程：下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形：,曲线回归的计算器计算方法：计算器将出现如下画面：,mode,3,Lin Log Exp1 2 3
3、,Pwr Inv Quad1 2 3,（Lin）线性回归：（Log）对数回归：（Exp）指数回归：（Pwr）幂函数回归：（inv）双曲线回归：（Quad）抛物线回归：,1,2,3,1,2,3,（四）S型曲线陆生、水生动物的种群增长、微生物种群增长、细胞的生（增）长等都是这一模式因此，S型曲线又称为生长型曲线、logistic曲线，其变换形式有以下几种：,类似的生长型曲线还有 Gompertz 曲线：其变换形式：Bertalanffy 曲线：,在这些曲线方程中，无一例外的都有3个需要计算的统计量：k、a、bK 是当 x 趋向于+时 y 所能达到的最大值，往往是未知的，因此也是需要进行计算的这是生
4、长曲线与其他可以直线化的曲线方程不同的地方这些曲线方程中的 x 往往是时间单位，因此一般可用 t 表示，而 y 往往是群体的增长量，或群体增长倍数，所以也可以用 N 表示我们这里仅对典型的 S 型曲线方程进行直线化，其他变换类型的方程直线化可以仿此进行,测得某微生物在一定温度下随时间变化的平均增长量数据如下：时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增长倍数N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5从下面的散点图我们可以看出，可配合S型曲线：10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9,我们采用生长曲线的一般形式 进行配合变换，两边取对数，得：并
5、令：从数据表中取三个等距的点代入上式（一般总取始点、中点、末点）：（1，1.3）、（5，6.8）、（9，9.5）,解这一三元一次方程组，消去a、b，得：则这是一个通式，任何配置 S 型曲线的数据资料均可使用这一公式求得 k 值将上式中的 代入 式，得 即为 k 的解将k=9.78代入 可得和t相对应的各个Y值,将这些 Y 值写在数据表下方对应处，用最小二乘配置法配置直线时 间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增长倍数N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 1.88 1.71 1.02 0.54-0.82-1.81-1.89-2.59-3.52,得一级数
6、据：或将时间 t 和 Y 值输入计算器直接进行计算,则将k、a、b代入方程，即得：或：,在这一类例子中，时间往往是有效单位时间，如一周、一月、一年、一个时间段等，如需换算成具体时间如天、小时、分等，则需将其换算值代入 t 值即可另外，在一般的通式中，我们往往以 x、y 作为自变量和依变量的符号，但在具体问题中，有时为了更形象、更直观地说明问题，可以用其他不同的字母（往往是相应的英文名词的首写字母）来代替,如长度用 L、时间用 t、增重倍数用 N、体重用 W 等用统计软件进行计算时，可直接将原始数据输入数据库，调用相应的程序运算即可,第三节 曲线配合的拟合度,曲线配合完成，其方程是否理想，同一批
7、数据采用不同的曲线方程进行拟合，其效果如何，哪一种方程更好，可以用曲线方程的拟合度来衡量曲线方程的拟合度就是相关指数 R2离回归平方和 Q（实测值与预测值之差的平方和，即剩余回归平方和）在总平方和中所占的比例越小，说明方程的效果越好，因此可以用剩余回归平方和在总平方和中的比例来表示曲线配合的好坏：,在曲线回归方程中，我们必须实际求得每一个，然 后求出，而不能象简单回归一样可以用有关 公式求出 在上例中：t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 0.9445 1.7481 3.0030 4.6386 6.3326 7.7167 8.6448 9.1874 9.4797 0.1264 0.0615 0.1624 1.0788 0.2184 0.4669 0.0210 0.0076 0.0004,R2 的平方根 R 称为相关系数，为了和简单相关系数r 有所区别，曲线回归方程和多元回归方程的相关系数称为复相关系数，写为 R拟合度得到后，同样需要进行显著性检验，检验的方法还是查 r 表本例中，变量个数为 m=2，自由度 df=7，因此,同一批数据如果拟合了多条曲线回归方程，应当将每一条曲线方程的相关系数相比较，原则上哪一个曲线方程的相关系数大，哪一个曲线方程就是最好的，当然还应当结合专业知识来进行判断（*）,end,
