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1、第四节 不可数集合,第一章 集合及其基数,1 不可数集的存在性(区间0,1是不可数集),证明：假设0,1是可数集,则 0,1 可以写成一个无穷 序列的形式,定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集，其势记为，显然：,例：1）R(0,1)0,1 0,1)R+(ab),2 连续势集的定义,2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）,例 试作闭区间0,1与开区间(0,1)之间的一一对应,解,3 连续势集的性质（卡氏积）,（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集,特例就是定理4,定理4,证明,1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合
2、不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具有连续基数，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.,推论,连续势集的性质（并集）,连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集,定理3,证明,4 无最大势定理,从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.,A,A的子集全体,尽管 Cantor 在1883年就证明了这个定理，但直到1899年 Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的 Cantor 的最大基数悖论.,因此Cantor在1899年给 Dedekind 的一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾
3、的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.,集合悖论,Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。,注记：从前面我们已经看到：,Cantor认为在 之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。,连续统假设,在Zermelo-Frankel公理集合论体系下,参见：数学与哲学张景中，数理逻辑概貌莫绍揆,ZF公理集合论体系下的连续统假设,1940年Godel证明了连续统假设的相容性（即不能证明它不真）；,1962年Stanford大学的证明了它的独立性（即不能用其他公理证明它真）；,5 基数的运算,证明,矛盾,4,从而，得到矛盾所以An中至少有一个为连续势集,例3 对平面上的任意两个非有理点，一定存在一条折线不过有理点,连接两非有理点，并作中垂线，任取中垂线上一点z，连接xz，zy得到一条连接x，y的折线，这样的折线有连续势条，而平面上的有理点只有可数个，故一定存在一条折线不过有理点。,证明,设E为平面上的一切子集所成的集合，则,
